PROBLEMAS RESUELTOS DE CIENCIAS FISICAS
problemas resueltos de mecánica cuántica

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Ejercicios de Mecánica Cuántica

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Ejercicios de Mecánica cuántica

Respuesta del ejercicio 5
Sabemos que, en general, la medida de un observable Â, actuando sobre un estado ψt(x, t) se obtiene por la expresión :
    \(\displaystyle \left \langle\psi_t(x), \hat{A}\psi_t(x)\right\rangle = \left\langle\sum_i^\infty (\alpha_i,\psi_t)\alpha_i(x)\; , \; \hat{A}\left[\sum_j^\infty (\alpha_j,\psi_t)\alpha_j(x)\right]\right\rangle \)

pero en nuestro caso tenemos ψt(x) = c·αk(x) , por lo que resulta :

    \(\displaystyle \begin{array}{l} \langle\psi_t(x), \hat{A}\psi_t(x)\rangle =\langle c·\alpha_k(x), \hat{A}[c·\alpha_k(x)]\rangle = \\  \\ \langle c·\alpha_k(x) , c \hat{A}[\alpha_k(x)]\rangle = \langle c·\alpha_k(x), c·A_k\alpha_k(x)\rangle =\\  \\ = |c|^2A_k\langle \alpha_k(x), \alpha_k(x)\rangle = |c|^2A_k \end{array} \)

Y la medida de  en el instante t da ciertamente el valor Ak.

Consideremos ahora el proceso inverso. Tenemos :
    \(\displaystyle \langle\psi_t(x), \hat{A}\psi_t(x)\rangle =\left \langle\sum_i^\infty (\alpha_i,\psi_t)\alpha_i(x)\; , \; \hat{A}\left[\sum_j^\infty (\alpha_j,\psi_t)\alpha_j(x)\right]\right\rangle = \)

    \(\displaystyle = \left \langle\sum_j^\infty (\alpha_j,\psi_t)\alpha_j(x)\; , \;\sum_j^\infty (\alpha_j,\psi_t)\hat{A}\alpha_j(x)\right \rangle = \)

    \(\displaystyle = \left \langle\sum_j^\infty\sum_k^\infty(\alpha_k,\psi_t)^*(\alpha_k,\psi_t)A_k\langle\alpha_j(x), \alpha_k(x)\right \rangle = \)

    \(\displaystyle = \sum_j^\infty\sum_k^\infty(\alpha_k,\psi_t)^*(\alpha_k,\psi_t)A_k\delta_{jk}
    \)
pero si la medida de  en el instante t da ciertamente el valor Ak, tendremos :
    \(\displaystyle\sum_j^\infty\sum_k^\infty(\alpha_k,\psi_t)^*(\alpha_k,\psi_t)A_k\delta_{jk} = A_k \Rightarrow (\alpha_k,\psi_t)^*(\alpha_k,\psi_t) = 1 \)

y puesto que:
    \(\displaystyle\psi_t(x) = \sum_i^\infty(\alpha_i,\psi_t)\alpha_i\)
deberá ser :

    \(\displaystyle\psi_t = (\alpha_k,\psi_t)\alpha_k\; ; \;\textrm{ con }(\alpha_k,\psi_t) =c\; , \;\textrm{ donde }|c|^2 = 1 \)
EJERCICIOS DE MECÁNICA CUÁNTICA - EJERCICIOS DE FÍSICA ATÓMICA
 


tema escrito por: José Antonio Hervás