Ejercicios de Mecánica cuántica - Respuesta 4

La primera parte de la relación es trivial puesto que estamos considerando el módulo de un número complejo que , por definición, es un número real no negativo.
Para la segunda parte consideramos la desigualdad de Schwarz que nos dice :

|(ψ₁, ψ₂)| ≤ √(ψ1, ψ1)·√(ψ2, ψ2)

y según eso tenemos :

|(α_k, ψ_t)|² ≤ (α_k, α_k)·(ψ_t, ψ_t)

Pero {α_i} es una base de vectores propios ortonormales, por lo que la norma de cada uno de ellos valdrá la unidad. Así mismo, según el postulado 1, la norma del vector ψ_t(x, t) vale la unidad. Por todo ello tendremos :

|(α_k, ψ_t)|² ≤ 1 × 1 = 1   ⇒   0 ≤ |(α_k, ψ_t)|² ≤ 1