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Ejercicios resueltos de Mecánica Cuántica
 
Ejercicios de Mecánica cuántica - Respuesta 2
Si v es un vector propio de Â, entonces v = αi(x) y se cumple:
    ||Φ(x)|| = ⟨Φ(x), Φ(x)⟩ = ⟨c·Ψ(x), c·Ψ(x)⟩ = c·c*· ⟨Ψ(x), Ψ(x)⟩ = |c|2·||Ψ(x)|| = 1
Veamos ahora como actúa el operador c. sobre un vector propio de Â.

Tenemos:



por lo tanto, c.Ai es un autovalor del operador cÂ, y {αi(x)} sus vectores propios.
Suponiendo ahora que se verifica :
    c·Ân-1i(x)} = c·Âin-1αi(x)
donde c·Ain-1 y {αi(x)} son respectivamente los autovalores y vectores propios de c·Ân-1, tenemos:



Y queda demostrado así el apartado (a).
Para la segunda parte, sabemos por teoría que el operador f(Â) se define formalmente por la expresión :

Y teniendo en cuenta el resultado anterior, sabemos que cualquier sumando de la forma cn·Ân tiene a c·Âin como valor propio y a {αi(x)} como vector propio. Por consiguiente :

y puesto que el sumatorio no afecta al subíndice i, podemos sacar αi(x) αi(x) como factor común y escribir :

con lo que queda demostrado el segundo apartado.
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