Ejercicios de Mecánica cuántica - Respuesta 2

Si v es un vector propio de Â, entonces v = α_i(x) y se cumple:

||Φ(x)|| = ⟨Φ(x), Φ(x)⟩ = ⟨c·Ψ(x), c·Ψ(x)⟩ = c·c*· ⟨Ψ(x), Ψ(x)⟩ = |c|²·||Ψ(x)|| = 1

Veamos ahora como actúa el operador c. sobre un vector propio de Â.

Tenemos:



por lo tanto, c.Ai es un autovalor del operador cÂ, y {α_i(x)} sus vectores propios.
Suponiendo ahora que se verifica :

c·Â^n-1{α_i(x)} = c·Â_i^n-1α_i(x)

donde c·A_i^n-1 y {α_i(x)} son respectivamente los autovalores y vectores propios de c·Â^n-1, tenemos:



Y queda demostrado así el apartado (a).
Para la segunda parte, sabemos por teoría que el operador f(Â) se define formalmente por la expresión :

Y teniendo en cuenta el resultado anterior, sabemos que cualquier sumando de la forma c_n·Âⁿ tiene a c·Â_iⁿ como valor propio y a {α_i(x)} como vector propio. Por consiguiente :

y puesto que el sumatorio no afecta al subíndice i, podemos sacar α_i(x) α_i(x) como factor común y escribir :

con lo que queda demostrado el segundo apartado.