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MI COLECCIÓN DE PROBLEMAS RESUELTOS : INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA CUÁNTICA (VOLVER A LOS ENUNCIADOS)
 
Probar que el operador , donde n = 0, 1, 2, ... , tiene vectores propios y valores propios . Aquí son los vectores propios y los valores propios, respectivamente, del operador observable  .

Utilizando el resultado del apartado anterior, probar qua el operador f(Â) tiene vectores propios y valores propios {f(Â)}
Respuesta 2
Si v es un vector propio de Â, entonces y se cumple :



Veamos ahora como actúa el operador c. sobre un vector propio de Â.

Tenemos:

por lo tanto, c.Ai es un autovalor del operador cÂ, y sus vectores propios.
Suponiendo ahora que se verifica :

donde son respectivamente los autovalores y vectores propios de , tenemos:

Y queda demostrado así el apartado (a).
Para la segunda parte, sabemos por teoría que el operador f(Â) se define formalmente por la expresión :

Y teniendo en cuenta el resultado anterior, sabemos que cualquier sumando de la forma tiene a como valor propio y a como vector propio. Por consiguiente :

y puesto que el sumatorio no afecta al subíndice i, podemos sacar como factor común y escribir :

con lo que queda demostrado el segundo apartado.

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