Probar
que el operador 
,
donde n = 0, 1, 2, ... , tiene vectores propios 
y valores propios 
. Aquí 
son los vectores propios y los valores propios, respectivamente, del operador
observable  .
Utilizando el resultado del apartado anterior, probar qua el operador f(Â) tiene vectores propios
y valores propios {f(Â)}
y se cumple :
Veamos ahora como actúa el operador c. sobre un vector propio de Â.
Tenemos:
por lo tanto, c.Ai es un autovalor del operador cÂ, y
sus vectores propios.
Suponiendo ahora que se verifica :
donde
son respectivamente los autovalores y vectores propios de 
,
tenemos:
Y queda demostrado así el apartado (a).
Para la segunda parte, sabemos por teoría que el operador f(Â) se define formalmente por la expresión :
Y teniendo en cuenta el resultado anterior, sabemos que cualquier sumando de la forma
tiene a 
como valor propio y a
como vector propio. Por consiguiente :
y puesto que el sumatorio no afecta al subíndice i, podemos sacar
como factor común y escribir :
con lo que queda demostrado el segundo apartado.
,
donde n = 0, 1, 2, ... , tiene vectores propios
y valores propios
. Aquí
son los vectores propios y los valores propios, respectivamente, del operador
observable  .Utilizando el resultado del apartado anterior, probar qua el operador f(Â) tiene vectores propios
y valores propios {f(Â)} Respuesta 2Si v es un vector propio de Â, entonces
y se cumple : Veamos ahora como actúa el operador c. sobre un vector propio de Â.
Tenemos:
por lo tanto, c.Ai es un autovalor del operador cÂ, y
sus vectores propios.Suponiendo ahora que se verifica :
donde
son respectivamente los autovalores y vectores propios de ,
tenemos:Y queda demostrado así el apartado (a).
Para la segunda parte, sabemos por teoría que el operador f(Â) se define formalmente por la expresión :
Y teniendo en cuenta el resultado anterior, sabemos que cualquier sumando de la forma
tiene a
como valor propio y a
como vector propio. Por consiguiente :y puesto que el sumatorio no afecta al subíndice i, podemos sacar
como factor común y escribir :con lo que queda demostrado el segundo apartado.