PROBLEMAS RESUELTOS DE CIENCIAS FISICAS
problemas resueltos de mecánica cuántica

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Ejercicios de Mecánica Cuántica

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Ejercicios de Mecánica cuántica

Respuesta del ejercicio 2
Si v es un vector propio de Â, entonces v = αi(x) y se cumple:
    \(\begin{array}{l} \|\phi(x)\|= \langle\phi(x), \phi(x)\rangle= \langle c·\phi(x), c· \phi(x)\rangle= \\  \\ = cc^*\langle\phi(x), \phi(x)\rangle=|c|^2\|\phi(x)\|= 1 \end{array} \)
Veamos ahora como actúa el operador c. sobre un vector propio de Â.

Tenemos:

    \(c\hat{A}\{\alpha_i(x)\}=c[\hat{A}\{\alpha_i(x)\}]= c[A_i\alpha_i(x)] = cA_i\alpha_i(x) \)
por lo tanto, c.Ai es un autovalor del operador cÂ, y {αi(x)} sus vectores propios.
Suponiendo ahora que se verifica :
    \(c\hat{A}^{n-1}\{\alpha_i(x)\} = c \hat{A}_i^{n-1}\alpha_i(x) \)
donde c·Ain-1 y {αi(x)} son respectivamente los autovalores y vectores propios de c·Ân-1, tenemos:

    \(c\hat{A}^n\{\alpha_i(x)\}= c\hat{A}[\hat{A}^{n-1}\{\alpha_i(x)\}] = c \hat{A}[ \hat{A}_i^{n-1}\alpha_i(x)] = \)

    \( = c\hat{A}_i^{n-1}[\hat{A}\alpha_i(x)] = c\hat{A}_i^{n-1}A_i\alpha_i(x) = c\hat{A}_i^n\alpha_i(x)\)

Y queda demostrado así el apartado (a).
Para la segunda parte, sabemos por teoría que el operador f(Â) se define formalmente por la expresión :
    \(\displaystyle f(\hat{A})= \sum_{n=0}^\infty c_n\hat{A}^n \)
Y teniendo en cuenta el resultado anterior, sabemos que cualquier sumando de la forma cn·Ân tiene a c·Âin como valor propio y a {αi(x)} como vector propio. Por consiguiente :
    \(\displaystyle f(\hat{A})\{\alpha_i(x)\}=\sum_{n=0}^\infty c_n\hat{A}_i^n\{\alpha_i(x)\}=\sum_{n=0}^\infty c_nA_i^n\alpha_i(x)\)
y puesto que el sumatorio no afecta al subíndice i, podemos sacar αi(x) αi(x) como factor común y escribir :
    \(\displaystyle f(\hat{A})\{\alpha_i(x)\}=\sum_{n=0}^\infty c_n\hat{A}_i^n\{\alpha_i(x)\}=\left[\sum_{n=0}^\infty c_nA^n \right] \{\alpha_i(x)\} = \)

    \( =f(A_i)[\{\alpha_i(x)\}] =f(A_i)\alpha_i(x) \)

con lo que queda demostrado el segundo apartado.
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tema escrito por: José Antonio Hervás