PROBLEMAS RESUELTOS
DE
MECÁNICA CUÁNTICA

EJERCICIOS RESUELTOS

OPERADORES HAMILTONIANOS, OPERADORES HERMÍTICOS, POSICIÓN Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

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ejercicios resueltos

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Enunciado 81

Mostrar que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se puede poner en la forma:
    \( \displaystyle \frac{p^2}{2m}·a(p) + \int U(p'-p)·a(p')dp' = E·a(p)\)
Dónde se tiene:
    \( \displaystyle U(p'-p) = \frac{1}{2\pi \hbar}\int V(x)·e^{i(p'-p)x/\hbar}dx \)
Y a(p) viene definido por la relación:
    \( \displaystyle \varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar }}\int a(p)·e^{i·px/\hbar}dp \)
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Enunciado 82

Se definen los operadores:
    \( \widehat{\triangle A} = \hat{A} - \bar{A} \quad ; \quad \widehat{\triangle B} = \hat{B} - \bar{B} \)
Dónde \( \widehat{A} \; y \; \widehat{B} \) son dos observables de un sistema. Demostrar que se verifica:
    \( \displaystyle \left[\widehat{\triangle A} , \widehat{\triangle B} \right] = \left[\hat{A} ,\hat{B} \right] \)
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Enunciado 83

Demostrar que a partir de la " ecuación del movimiento" cuántica para observables independientes del tiempo:
    \( \displaystyle \frac{d\bar{A}}{dt} = \frac{i}{\hbar}\overline{\left[\hat{H}, \hat{A}\right]} = \frac{i}{\hbar} \int \psi^*\left[\hat{H}, \hat{A}\right] \psi dq \)
Que para una partícula en una dimensión se tiene:
    \( \displaystyle \frac{d\bar{p}}{dt} = - \overline{\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)} \)
Qué es una ecuación análoga a la segunda ley de Newton de la mecánica clásica.
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Enunciado 84

Demostrar a partir de la ecuación del movimiento cuántica en el problema anterior, que en un sistema conservativo (sistema en el que \( \hat{H} \) no depende explícitamente del tiempo) el valor medio de la energía se conserva.
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Enunciado 85

Mostrar que para un estado estacionario de una partícula, valor esperado de \( \bar{r}·\bar{p} \) es constante en el tiempo, es decir:
    \( \displaystyle \frac{d}{dt}\langle \bar{r}·\bar{p}\rangle = 0 \)
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tema escrito por: José Antonio Hervás