PROBLEMAS RESUELTOS
DE
MECÁNICA CUÁNTICA

EJERCICIOS RESUELTOS

OPERADORES HAMILTONIANOS, OPERADORES HERMÍTICOS, POSICIÓN Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

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ejercicios resueltos

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Enunciado 71

Considérese una partícula sometida a una barrera de potencial rectangular. Considerar un estado estacionario de energía, \( E < V_o \), correspondiente al caso en que la partícula viaja hacia la izquierda. Escribir las soluciones generales de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo en las distintas regiones del potencial.
Encontrar cuatro relaciones entre las cinco constantes arbitrarias, acoplando \( \varphi \; y \; d \varphi/dx \) en las fronteras entre regiones.
Utilizar estas relaciones para evaluar el coeficiente de transmisión, T, verificando que se puede poner en la forma:
    \( \displaystyle T = \left[1 + \frac{Sh^2K_{II}·a}{4(E/Vo)[1 - (E/V_o)]}\right]^{-1}\; ;\; siendo \;K = \frac{\sqrt{2m(V-E)}}{\hbar} \)
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Enunciado 72

Demostrar que sí \( k_1a>>1\) , la expresión correspondiente al coeficiente de transmisión de una barrera de potencial rectangular se reduce a la forma:
    \( \displaystyle T\approx 16·\frac{E}{V_o}\left(1 - \frac{E}{V_o}\right)e^{-2k_1a} \)
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Enunciado 73

Probar que el coeficiente de resolución de un potencial escalón de altura \( V_o \) se puede poner en la forma:
    \( \displaystyle R = \left(\frac{1-\sqrt{1 - (V_o/E)}}{1+\sqrt{1 - (V_o/E)}}\right)^2\quad ; \; con (E/V_o) > 1 \)
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Enunciado 74

Encontrar los coeficientes de transmisión y reflexión para un potencial escalón de un estado estacionario en el cual la partícula " incide" desde la derecha, la zona de potencial \( V_o \) a la del potencial 0

potencial escalón

Estudiar la relación entre ambos.

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Enunciado 75

Estimar la energía del estado fundamental para un neutrón, tratándolo como si estuviera en un pozo cuadrado infinito de anchura igual al diámetro nuclear \( 10^{-14}m \). Comparar el resultado con el que se obtendría para un electrón.
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Enunciado 76

Discutir el principio de correspondencia para los resultados cuánticos la mente contrarios a la física clásica, sonidos para el escalón de potencial, potencial, pozo de potencial, etc.
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Enunciado 77

Demostrar que tanto en el caso clásico como en el cuántico la incertidumbre del momento de una partícula viene dada por:
    \( \triangle p = \sqrt{2m·E} \)
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Enunciado 78

Encontrar que potenciales actúan sobre una partícula sí la parte espacial de su función de onda para un estado estacionario viene dada por:
    \( \displaystyle \varphi(r) = \frac{e^{-ikr}+b·e^{ikr}}{r} \)
Siendo r la distancia al origen.
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Enunciado 79

Demostrar que el valor medio del momento para un estado ligado estacionario es siempre cero
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Enunciado 80

Estudiar la función de onda para una partícula que se mueve en un pozo de potencial

un pozo de potencial

dado por los siguientes valores:

    \( \begin{array}{l}
    V(x) \rightarrow \infty \qquad para \; x < -a \\
     \\
    V(x) = 0\qquad\qquad para \; x>0 \\
     \\
    V(x) = -V_o \qquad\qquad para -a < x < 0
    \end{array} \)
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FÍSICA CUÁNTICA

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tema escrito por: José Antonio Hervás