PROBLEMAS RESUELTOS
DE
MECÁNICA CUÁNTICA

EJERCICIOS RESUELTOS

OPERADORES HAMILTONIANOS, OPERADORES HERMÍTICOS, POSICIÓN Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

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ejercicios resueltos

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Enunciado 61

Separar la ecuación de Schrödinger para un potencial independiente del 5, vente ecuaciones de Schrödinger independientes del tiempo, una para cada una de las coordenadas espaciales.
Explicar claramente que se debe suponer acerca de la forma de la energía potencial para hacer posible la separación y cuál es el significado físico de tal suposición.
Dar un ejemplo de sistema que puede tener tal potencial.
Enunciado 62

La función de onda correspondiente han estado de una partícula en un cierto instante viene dado por la función:
    \( \displaystyle \psi(x) = \frac{1+\imath·x}{1+\imath x^2} \)
Si pide:
    a) normalizar la función.
    b) hacer un gráfico de la distribución de probabilidad en x.
    c) ¿ dónde será más probable encontrar la partícula?
Enunciado 63

La función de onda (no normalizada) de una partícula en un cierto instante es:
    \( \displaystyle \psi(x) = \exp \left(\frac{-x^2}{2\triangle^2}+ i·\frac{P·x}{\hbar}\right) \)
Mostrar que el valor esperado del momento es P, y que la incertidumbre en la posición de la partícula es del orden de \( \triangle \). Mostrar también que el valor esperado o medio de la posición,x, es 0.
Las integrales impropias que aparecerán en el transcurso de este problema van a ser de la forma:
    \( \displaystyle \int_{0}^{\infty}x^n·e^{-b^2x^2}·dx = \frac{(n+1)/2}{2·b^{(n+1)}}\qquad ; \quad para \quad b^2 > 0 , n \neq -1 \)
En particular, para n entero y par (n = 2k) está integral es igual a :
    \( \displaystyle I(n) = \frac{1·3·5···(2k-1)}{2^{k+1}·b^{2k+1}} \)
Y para n entero impar (n = 2k+1) es igual a:
    \( \displaystyle I(n) = \frac{k!}{2·b^{2k+1}} \)
Nota.- la integral entre los límites \( -\infty \; y \; +\infty \) es igual al doble del valor correspondiente entre \( 0 \; y \; +\infty \) cuándo es par. Sí n es impar, la integral entre los límites \( -\infty \; y \; +\infty\) es nula.
Enunciado 64

En operador A es hermítico si para cualquier par de funciones f, g cumple que:
    \( \langle f , Ag\rangle = \langle Af , g\rangle \)
Demostrar que los autovalores de un operador hermítico son reales. Demostrar que el operador hamiltoniano de una partícula es hermítico, y por tanto en sus autovalores correspondientes a las energías posibles de la partícula serán reales.
Enunciado 65

Sí \( \psi(x,t) \) es la función de onda de una partícula en una dimensión, puede poner en la forma:
    \( \displaystyle \psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int a(k,t)·e^{ikx}·dk \)
Dónde a(k,t) es súper formada de Fourier en el instante t.
Demostrar que el valor medio del segmento, \( P_x \), de la partícula se podrá poner:
    \( \displaystyle \bar{P}_x = \int \hbar·k|a(k)|^2·dk \)
¿ que sugiere este resultado?¿ de que son autofunciones las funciones exp(ik·x)?.
Enunciado 66

Calcular la densidad de corriente de probabilidad, \( \vec{S} \), correspondiente a la función de onda para una partícula:
    \( \displaystyle \psi (\vec{r})= \frac{1}{r}·e^{ikr} \)
Dónde:
    \( \displaystyle r^2 = x^2+y^2+z^2\)
Examinar el comportamiento de \( \vec{S} \) para valores grandes de r interpretar el resultado comparándolo con el temido para una onda plana. ¿ que se puede decir sobre la conservación de la probabilidad en este caso?.
Enunciado 67

¿Cuál sería el efecto sobre la teoría de Schrödinger para un sistema de una sola partícula, si se le sumara a su potencial de interacción la constante \( mc^2 \) correspondiente a su energía en reposo relativista? Enunciado 68

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo:
    \( \hat{H}·\varphi(q) = E·\varphi(q) \)
Se deduce a partir de la ecuación de Schrödinger general:
    \( \displaystyle \hat{H}·\varphi(q,t) = i\hbar·\frac{\partial \psi(q,t)}{\partial t} \)
Al hacer una separación de variables entre las variables espaciales y el tiempo. Decir, buscando soluciones del tipo:
    \( \psi(q,t) = \varphi(q)·T(t) \)
Sin embargo, qué método para resolver la ecuación general no es válido en todo. Para utilizarlo debemos hacer una cierta suposición que no se cumple para cualquier sistema ¿ cuál es esa suposición? Explicar.

Enunciado 69

Las figuras adjuntas muestran dos supuestas funciones de onda correspondientes a estados excitados del oscilador armónico.

dos supuestas funciones de onda correspondientes a estados excitados del oscilador armónico

Una de ellas es incorrecta ¿cuál es y por qué?

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Enunciado 70

Un Protón y un deuterón (partícula con la misma carga que un Protón pero con el doble de masa) intentan penetrar una barrera de potencial de 10 MeV. De altura y \( 10^{-14}m \) de ancha. Las partículas tienen una energía total de 3 MeV.
Mediante argumentos cualitativos, pronóstiquese cuál de las dos partículas tiene mayor probabilidad de éxito.
Evaluar cuantitativamente la posibilidad de éxito para ambas partículas.
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EJERCICIOS RESUELTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
FÍSICA CUÁNTICA

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tema escrito por: José Antonio Hervás