PROBLEMAS RESUELTOS
DE
MECÁNICA CUÁNTICA

EJERCICIOS RESUELTOS

OPERADORES HAMILTONIANOS, OPERADORES HERMÍTICOS, POSICIÓN Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

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ejercicios resueltos

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Enunciado 51

Si los operadores \(\hat{A} \; y \; \hat{B}\) conmutan, entonces existe un conjunto \(\{\phi_n\} \) de autofunciones comunes.
Recíprocamente,Si \(\hat{A} \; y \; \hat{B}\) tienen autofunciones comunes, entonces \([\hat{A},\hat{B}] = 0\), es decir, conmuta.
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Enunciado 52

Calcular en función de \( E/E_Q \), el coeficiente de reflexión y el de transmisión para una partícula de masa m, viajando de izquierda a derecha, a través de un pozo de potencial en forma de delta de Dirac, \( V(x) = \alpha·\delta(x) \), con una energía \(E > 0\), y siendo \( E_Q = m\alpha^2/2\hbar^2 \) el módulo de la energía del único estado ligado estacionario del pozo. Estudiar las variaciones de los coeficientes con el valor de E. ¿Qué ocurre cuando E tiende a \(\infty\)?
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Enunciado 53

Estudiar la función de onda para una partícula de masa m, viajando de izquierda a derecha a través de un pozo de potencial dado por:
    \( V(x) = - \alpha·\delta(x) - \alpha·\delta(x- L) \qquad ; \textrm{ con } L = Cte. \)

Esta ecuación de potencial representa dos pozos de potencial muy estrechos y profundos, y por tanto, de alta energía. Físicamente podría equipararse el sistema a dos núcleos separados una distancia “L”.

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Enunciado 54

Obtener una expresión analítica aproximada para el primer nivel de energía excitado en un pozo de potencial cuadrado, para una dimensión, cuando \(V_oa^2\) es un poco mayor que \(\pi^2\hbar^2/8m\)
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Enunciado 55

Estudiar los estados ligados estacionarios de un pozo de potencial cuadrado en una dimensión, cuando su anchura \("a"\) tiende a 0 y su profundidad a infinito, de modo que \(V_o\) sea constante. Mostrar que no existirá mas que un solo estado ligado y encontrar un valor aproximado para su energía. Comparar los resultados con los obtenidos para un pozo en forma de función delta de Dirac.
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Enunciado 56

Demostrar de una manera informal que:
    \(\displaystyle \lim_{g\rightarrow\infty}\frac{\sin g·x}{\pi·x}\quad ; \quad \textrm{ con }g>0 \)

Es una posible representación de la función delta de Dirac (\(\delta\))

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Enunciado 57

Demostrar que una función escalón periódico, de periodo \(2\pi\), de la forma:
    \(\displaystyle f(x) = \left\{
    \begin{array}{l}
    -1 \textrm{ si } -\pi < x < 0 \\
    \\
    \quad 1 \textrm{ si } 0 < x <\pi \\
    \end{array}
    \right. \)

Se puede expresar mediante la serie siguiente:

    \(\displaystyle f(x) = \frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n-1}·\sin[(2n-1)x]
    \)

Hacer una gráfica de la función resultante de determinar la serie manteniendo solamente unos pocos términos.

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Enunciado 58

Demostrar que la velocidad de grupo obtenida a partir de las relaciones de Einstein y de Broglie coincide con la velocidad de la partícula, para velocidades relativas.
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Enunciado 59

Demostrar la invarianza de la ecuación de Schrödringer para la partícula libre respecto de la transformación de Galileo.
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Enunciado 60

Buscar una función f(x,t) que verifique la ecuación:
    \(\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} - \frac{1}{v^2}·\frac{\partial^2 f}{\partial t^2} \)

Con las condiciones iniciales y de contorno respectivas:

    \(\displaystyle f(x,0) = f_o(x)\quad ; \quad \left[\frac{\partial f}{\partial t}\right]_{t=0} = f'_o(x) \quad ; \quad f(0,t) = f(L;t)= 0 \)
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EJERCICIOS RESUELTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
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tema escrito por: José Antonio Hervás