PROBLEMAS RESUELTOS
DE
MECÁNICA CUÁNTICA

EJERCICIOS RESUELTOS

OPERADORES HAMILTONIANOS, OPERADORES HERMÍTICOS, POSICIÓN Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

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ejercicios resueltos

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Enunciado 41

Con los resultados obtenidos en los ejercicios 139 y 140, demostrar que los valores propios de la energía en el pozo cuadrado infinito son:
    \(\displaystyle E_n = \frac{\pi^2 \hbar^2}{2mL^2}n^2 \; , \; \textrm{ con } n = 1,2,3,\cdots\)
Y los vectores propios de la energía correspondientes son:
    \(\displaystyle\eta_n = \left \{ \begin{matrix} \sqrt{(2/L·}\cos (n \pi /L)x & n = 1,3,5.\cdots
    \\ \sqrt{(2/L}·\sin (n \pi /L)x & n = 2,4,6.\cdots\end{matrix}\right. \)
donde se han elgido las constantes An y Bn de manera que se satisfaga la condición de normalización:
    \(\displaystyle(\eta_n , \eta_n)\equiv \int_{-L/2}^{+ L/2}|\eta_n(x)|^2·dx = 1\)
Comprobar que las funciones anteriores satisfacen las condiciones de ortogonalidad, para ello serán útiles las identidades:
    \(\displaystyle \int_{-a/2}^{+ a/2}\sin \left(\frac{n\pi x}{a}\right) \sin \left(\frac{n\pi x}{a}\right)dx = \int_{-a/2}^{+ a/2}\cos \left(\frac{n\pi x}{a}\right) \cos \left(\frac{n\pi x}{a}\right)dx =\)

    \(\displaystyle = \left \{ \begin{matrix} 0 & m \neq n \\ a/2 & m = n \end{matrix}\right.\)

    \(\displaystyle \int_{-a/2}^{+ a/2}\sin \left(\frac{n\pi x}{a}\right)\cdot \cos \left(\frac{n\pi x}{a}\right) dx = 0 \)
Demostrar que la relación de los niveles energéticos en torno al valor En es:
    \(\displaystyle \frac{E_{n+1}-E_n}{E_n}= \frac{2n+1}{n^2} \simeq \frac{2}{n}\)
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Enunciado 42

En el caso de una prtícula de un gramo que se mueva con una velocidad de 1 cm/s en un pozo de longitud 1 cm, esperamos que sea correcta la fórmula clásica de la energía. Calcular el número cuántico, n, para este caso. Las separaciones relativas próximas, ¿harán que los niveles energéticos parezcan discretos o contínuos ?. ¿Sería muy diferente de cero, en esta escala macroscópico, el nivel energético mínimo E1 ?
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Enunciado 43

Un electrón dentro de un átomo de peso mediano puede tener energías del orden de 1 keV = 1,6 x 10-9ergios. Calcular el número cuántico n, para un electron con una energía aporomada de 1 meV, dentro de un pozo de 1 Angstron (= 10-8 cm). Las esparaciones relativas próximas, ¿harán que los niveles energéticos parezcan discretos o continuos?
¿Sería muy diferente de cero el nivel energético mínimo E1 en esta escala microscópica.
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Enunciado 44

Demostrar que la incertidumbre de la cantidad de movimiento de cualquier partícula material en un pozo cuadrado infinito no puede ser nunca inferior a \(\pi \hbar/L\).
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Enunciado 45

Supongamos que el vector de estado inicial es:

    \(\psi_o(x) = (\sqrt{3}/2)\eta_1(x) + (1/2)\eta_2(x)\)


¿Cual es \(\psi_t(x)\)?. Si se mide la energía en el instante t, ¿ que valores pueden pueden obtenerse y cuales son sus probabilidades respectivas?. Utilizando las expresiones :
    \(\displaystyle \langle\hat{A}\rangle_t = \sum_{k =1}^\infty\left|(\alpha_k, \psi_t)\right|^2A_k \)
    \(\displaystyle \langle\hat{A}\rangle_t = \sum_{k =1}^\infty\left|(\alpha_k, \psi_t)\right|^2A_k \triangle\hat{A}_t = \sqrt{ \sum_{k =1}^\infty\left|(\alpha_k, \psi_t)\right|^2A_k^2 - \left(\sum_{k =1}^\infty\left|(\alpha_k, \psi_t)\right|^2A_k \right)} \)
Demostrar que se verifica:
    \(\displaystyle \langle \hat{H}\rangle_t = \left(\frac{\pi^2 \hbar^2}{2m L^2}\right)\frac{7}{4} \; ; \;\triangle \hat{H}_t = \left(\frac{\pi^2 \hbar^2}{2m L^2}\right)\frac{3\sqrt{3}}{4} \)
Probar que la evolución temporal de un observable cualquiera no puede ser inferior a:
    \(\displaystyle \frac{4mL^2}{3\sqrt{3}\pi^2 \hbar} \)
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Enunciado 46

Demostrar que la densidad de probabilidad de posición y la corriente de probabilidad de posición vienen dadas respectivamente, por:
    \(\displaystyle \left|\psi_t(x)\right|^2 = \frac{3}{4}\eta_1^2(x) + \frac{1}{4}\eta_2^2(x)+ \frac{\sqrt{3}}{2}\eta_1(x)\eta_2(x)\cdot\cos\left[\frac{1}{\hbar}(E_2 - E_1)t\right] \)

    \(\displaystyle S(x,t) = \frac{\hbar}{m}\frac{\sqrt{3}}{4}\left(\eta_1^\prime(x)\eta_2(x)- \eta_1(x)\eta_2^\prime(x)\right) \cdot\sin\left[\frac{1}{\hbar}(E_2 - E_1)t\right] \)
Demostrar que el período de oscilación de la densidad y el de la corriente son del orden del tiempo de evolución mínimo estimado en el problema 45. Calcular la densidad y corriente de probabilidad de posición en los puntos x =0 ; L/4 ; L/3 ; L/2.
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Enunciado 47

Demostrar que la esperanza de la posición en el instante t es:

    \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\left\{\int_{-L/2}^{+L/2}x\cdot\eta_1(x)\eta_2(x)\cdot dx \right\}\cdot\cos\left[\frac{1}{\hbar}(E_2 - E_1)t\right] = \)

    \(\displaystyle = \left(\frac{16\sqrt{3}}{9\pi^2}\right)\frac{L}{2}\cos\left(\frac{3\pi^2 \hbar}{2m L^2}\right)t\)

Notar que \(\langle\hat{X}\rangle_t\) es, en este caso, sinuisoidal en el tiempo con amplitud aproximada de 0,3(L/2) ; en cambio, la funión posición clásica x(t) tiene forma de diente de sierra de amplitud L/2, al representarla en función del tiempo.
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Enunciado 48

Partiendo de la ecuación:
    \(\displaystyle\frac{d}{dt}\langle \hat{X}\rangle_t = \frac{1}{m}\langle \hat{P}\rangle_t \)
Demostrar que la esperanza de la cantidad de movimiento en el instante t es:
    \(\displaystyle \langle \hat{P}\rangle_t = \frac{-4}{\sqrt{3}}\frac{\hbar}{L}\cdot\sin\left(\frac{3\pi^2 \hbar}{2m L^2}\right)t = \frac{-8}{\sqrt{21}}\sqrt{2m \langle \hat{H}\rangle} \cdot\sin\left(\frac{3\pi^2 \hbar}{2m L^2}\right)t \)
Donde en el último paso hemos utilizado la expresión de \(\langle\hat{H}\rangle\) del problema 45. Nótese que \(\langle P\rangle_t\) es,en este caso, sinuidal en el tiempo con amplitud \(\simeq 0,56\sqrt{2m\langle\hat{H}\rangle}\); en cambio, la cantidad de movimiento clásica p(t), tiene forma de onda cuafrada al representarla en función de t, con amplitud \(\sqrt{2mE}\).

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Enunciado 49

Utilizando la definición de producto escalar, junto con la propiedad:
    \(\displaystyle f(x) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x')\cdot\delta(x' - x)dx' \)
Demostrar que los vectores propios de posición satisfacen la relación de ortonormalidad modificada:
    \(\displaystyle (\delta_{x_1}, \delta_{x_2}) \; ; \; - \infty < x_1, x_2 < +\infty \)
Suderencia.- Recordar que \(\delta_{x_o}(x) \equiv \delta(x - x_o)\) es real pura.
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Enunciado 50

Utilizando la defición de producto escalar junto con la propiedad vista en el problema anterior, demostrar que se tiene:
    \(\displaystyle (\delta_\nu , \phi)= \phi(\nu)\; ; \; - \infty < \nu < +\infty\)
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EJERCICIOS RESUELTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
FÍSICA CUÁNTICA

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tema escrito por: José Antonio Hervás