PROBLEMAS RESUELTOS
DE
MECÁNICA CUÁNTICA

EJERCICIOS RESUELTOS

OPERADORES HAMILTONIANOS, OPERADORES HERMÍTICOS, POSICIÓN Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

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ejercicios resueltos

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Enunciado 31

Desarrollar los pasos que conducen a la expresión:

    \(\displaystyle \frac{d}{dt}[P(x_1, x_2;t)] = \frac{i\hbar}{2m}\int_{x_1}^{x_2}\left[\psi^*\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}- \psi\frac{\partial^2\psi^*}{\partial x^2}\right]dx\)
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Enunciado 32

Con ayuda de las ecuaciones:

    \(\displaystyle Re\; c = \frac{c+c^*}{2}\; ; \;Im\; c = \frac{c-c^*}{2i} \)

Donde Re e Im denotan, respectivamente, la parte real e imaginaria de un número complejo, demostrar que la corriente de probabilidad de posición, S(x, t), puede describirse en la forma:
    \(\displaystyle S(x,t) = \frac{\hbar}{m}Im\left[\psi^*(x,t)\frac{\partial\psi(x,t)}{\partial x}\right] \)
Que, incidentalmente indica que S(x, t) es real pura, como era de esperar.
Supóngase, por otro lado, que la función potencial V(x) sea tal que los vectores propios de energía \(\{\eta_n(x)\}\) resulten ser reales puros. Demostrar para este caso que la corriente de probabilidad de posición será idénticamente nula si el sistema se encuentra en un estado estacionario \(\psi^n(x,t)\).
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Enunciado 33

Demostrar que a función compleja de variable real definida en la forma:
    \(\displaystyle\theta_{p_0}(x)= exp\left(i\frac{p_0x}{\hbar}\right) \)
Es periódica en x con periodo:
    \(\displaystyle\lambda_0 = \frac{h}{p_0} \)
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Enunciado 34

Probar que los operadores \(\hat{X}\; y \; \hat{P}\) (posición y cantidad de movimiento), definidos por las expresiones:
    \(\displaystyle\hat{X}=x \; ; \; \hat{P}= -i\hbar\frac{d}{dx} \)
Cumplen la relación:
    \(\hat{X}·\hat{P}- \hat{P}·\hat{X}= \imath\hbar \)
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Enunciado 35

Deducir la relación de incertidumbre posición – cantidad de movimiento dada por la expresión:
    \(\displaystyle \triangle \hat{X}_t\cdot\triangle \hat{P}_t\geq \hbar/2\)
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Enunciado 36

Probar que se cumple la relación:
    \(\displaystyle \hat{H}\cdot\hat{X} - \hat{X}\cdot\hat{H} = \imath\hbar\cdot\frac{1}{m}\cdot\hat{P}\)
Siendo \(\hat{X}\; y \; \hat{P}\), respectivamente, el operador hamiltoniano y el operador posición.
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Enunciado 37

Probar que se cumple la relación:

    \(\hat{H}\hat{P} - \hat{P}\hat{H} = - i\hbar F(\hat{X}) \)

Donde en la última ecuación, la función F(x) está definida por :
    \(\displaystyle F(x) \equiv - \frac{d}{dx}[V(x)] \)
Con lo que se puede deducir que \(F(\hat{X})\) es el operador fuerza
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Enunciado 38

Demostrar que la igualdad:

    \(\displaystyle \langle F(\hat{X})\rangle_t = F( \langle\hat{X}\rangle_t)\)

Es válida para los casos particulares:

    \(\displaystyle F(x) = 0 \; ; \; F(x) = k \; ; \;F(x) = k\cdot x\)

Siendo k un número real.

Concluir así que en estos tres casos, \(\langle\hat{X}\rangle_t\; y \; \langle\hat{P}\rangle_t\) obedecen a las leyes clásicas del movimiento.
Demostrar, por otro lado que la igualdad anterior no es válida para

    \(F(x) = x^2 \)
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Enunciado 39

Demostrar que las dos funciones:
    \(\displaystyle A_n\cdot \cos k_n x \; ; \; B_n\cdot \sin k_n x\)
Satisfacen la ecuación:
    \(\displaystyle - \frac{\hbar^2}{2m}\cdot \eta_n^{\prime \prime}(x)\; ; \; \textrm{ para }|x|\leq L/2 \)
Cuando se cumple:

    \(\displaystyle k_n \equiv \sqrt{2mE_n}/\hbar\)
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Enunciado 40

Demostrar que las condiciones de contorno:
    ηn(-L/2) = ηn(+L/2) = 0
Permiten soluciones de la forma:
    Ancos kn
Solamente si:
    kn·(L/2) = n·π/2
Con n = 1, 3, 5,...

Demostrar que las soluciones de la forma:
    Bnsin kn
Sólo son admisibles si:
    kn·(L/2) = n·π/2
Donde n = 2, 4, 6, ...

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tema escrito por: José Antonio Hervás