Estás en > Matemáticas y Poesía > ejercicios resueltos

PROBLEMAS RESUELTOS de MECÁNICA CUÁNTICA

 
Enunciado 11

Escribiendo el producto escalar (ψt, ψt) en su forma integral

    \(\displaystyle(\psi_t\psi_t)= \int\psi^*(x,t)\psi(x,t)dx \)

y utilizando el hecho de que la variable de integración, x, es independiente de t, probar la igualdad :

    \(\displaystyle\frac{d}{dt}(\psi_t,\psi_t)= \left(\frac{\partial\psi_t}{\partial t},\psi_t\right)+ \left(\psi_t,\frac{\partial\psi_t}{\partial t}\right) \)
Ver Solución
Enunciado 12

Utilizando la igualdad :

    \(\displaystyle\frac{d}{dt}<\hat{A}>_t = \frac{\imath}{\hbar}\left(\psi_t\left[\hat{H}\hat{A}- \hat{A}\hat{H}\right]\psi_t\right) \)

probar que si  conmuta con el operador hamiltoniano del sistema, su esperanza, <Â>t , es constante en el tiempo.
Ver Solución
Enunciado13

Deducir la relación :
    \(T_A\triangle\hat{H}\geq\hbar/2 \)
Donde TA es el denominado tiempo de evolución de un sistema y Ĥ su hamiltoniano.
Ver Solución
Enunciado 14

Demostrar que las ecuaciones :

    \(\displaystyle\frac{d}{dt}[a_n(t)] = - \frac{\imath}{\hbar}\sum_{m=1}^\infty a_m(t)\left(\alpha_n,\hat{H} \alpha_m\right)\; ; \ n = 1,2, \cdots \; (1)\)

se reducen a las ecuaciones:

    \(\displaystyle\frac{d}{dt}(\eta_t,\psi_t)=- \frac{\imath}{\hbar}E_n(\eta_t,\psi_t)\; ; \ n = 1,2, \cdots \; (2) \)
Cuando los vectores propios {αi(x)} coincidan con los vectores propios de la energía, ηi(x) definidos por :
    \(\hat{H}\eta_k(x) = E_k\eta_k(x) \)
Ver Solución
Enunciado 15

Por sustitución directa de la ecuación

    \(\displaystyle \psi_t = \sum_{k=1}^\infty(\eta_n\psi_0)e^{-iE_nt/\hbar}\eta_n (x) \quad (1)\)

En :

    \(\displaystyle \imath\hbar\frac{\partial}{\partial t}[\psi(x,t)] = \hat{H}\psi(x,t)\quad (2)\)

Demostrar que esta expresión de satisface la ecuación de evolución temporal del postulado 5. Recuérdese que ni (∂ / ∂t) ni Ĥ tienen efecto alguno sobre las constantes complejas (ηn, ψ0)
Ver Solución
Enunciado 16

Probar directamente que si

    \(\displaystyle\psi_t(x) =e^{-iE_nt/\hbar}\eta_k (x) \)

para todo observable Â, la esperanza <Â>t , la incertidumbre,Δ Ât y las probabilidades ,|(αn, ψt)|² son todas constantes en el tiempo, independientemente de que  conmute o no con Ĥ
Ver Solución
Enunciado 17

Probar que el desarrollo

    \(\displaystyle\psi_t(x) = \sum_{n=1}^\infty\left(\psi_0^{(n)}, \psi_0\right)\psi_t^{(n)}(x) \)

se deduce de :

    \(\displaystyle\psi_t (x)= \sum_{n=1}^\infty(\eta_n\psi_0)e^{-iE_nt/\hbar}\eta_n (x) \)

y de :

    \(\displaystyle \psi_t^{(n)}(x)\equiv \psi^{(n)}(x,t)\equiv e^{-iE_nt/\hbar}\eta_n (x) \quad n=1, 2,\cdots \)
Ver Solución
Enunciado 18

Probar que el operador posición, definido por :

    \(\hat{X}= x \)

es hermítico.

De igual manera, demostrar que si f(x) es una función real regular cualquiera de x, el operador f(X) es hermítico.
Ver Solución
Enunciado 19

A partir de la ecuación :
    \(x\delta_{x_0}(x) = x_0\delta_{x_0}(x) \)
Demostrar que la función δx0(x) debe tener la propiedad de que δx0(x) = 0 ∀ x ≠ x0 pero que en x0 puede tener cualquier valor.

Ver Solución
Enunciado 20

Utilizando la ecuación:

    \(\displaystyle\langle\hat{A}\rangle_t = \int_{-\infty}^{+\infty}\psi_t^* (x)\left[\hat{A}\psi_t(x)\right]dx \)
demostrar que las esperanzas de la posición y de la cantidad de movimiento, en el estado ψ(x, t) se pueden calcular a partir de:

    \(\displaystyle\langle\hat{X}\rangle_t = \int_{-\infty}^{+\infty}x |\psi(x)|^2dx \; ; \; \langle\hat{P}\rangle_t = \int_{-\infty}^{+\infty}\psi^*(x,t)\frac{\partial\psi(x,t)}{\partial x}dx \)
Ver Solución
EJERCICIOS RESUELTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA - FÍSICA CUÁNTICA
grupo primero - : - grupo segundo - : - grupo tercero - : - grupo cuarto - : - grupo quinto - : otros recursos
Si esta colección de ejercicios de mecánica cuántica y de física cuántica te ha sido de utilidad, recomiéndasela a tus compañeros de estudios

Manuales y tutoriales - Apuntes varios - Temas matemáticos - Ejercicios - Poesía y emoción
Búsqueda personalizada


tema escrito por: José Antonio Hervás