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Enunciado 9

Demostrar que, siendo  un operador hermítico, también lo es el operador Â' definido mediante :

Â' = Â - <Â>

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Enunciado 10

Probar que se verifica :

(Â'·Ê' - Ê'·Â') = (Â·Ê - Ê·Â)

donde Â' y Ê' están definidos según Â' = Â - <Â>.

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Enunciado 11

Escribiendo el producto escalar (ψ_t, ψ_t) en su forma integral



y utilizando el hecho de que la variable de integración, x, es independiente de t, probar la igualdad :

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Enunciado 12

Utilizando la igualdad :



probar que si  conmuta con el operador hamiltoniano del sistema, su esperanza, <Â>_t , es constante en el tiempo.

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Enunciado13

Deducir la relación :

T_A·ΔĤ ≥ ℏ/2

Donde T_A es el denominado tiempo de evolución de un sistema y Ĥ su hamiltoniano.

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Enunciado 14

Demostrar que las ecuaciones :



se reducen a las ecuaciones:



Cuando los vectores propios {α_i(x)} coincidan con los vectores propios de la energía, η_i(x) definidos por :

Ĥ·η_k(x) = E_k·η_k(x)

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Enunciado 15

Por sustitución directa de la ecuación



En :



Demostrar que esta expresión de satisface la ecuación de evolución temporal del postulado 5. Recuérdese que ni (∂ / ∂t) ni Ĥ tienen efecto alguno sobre las constantes complejas (η_n, ψ₀)

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Enunciado 16

Probar directamente que si



para todo observable Â, la esperanza <Â>_t , la incertidumbre,Δ Â_t y las probabilidades ,|(α_n, ψ_t)|² son todas constantes en el tiempo, independientemente de que  conmute o no con Ĥ

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