Problemas y ejercicios resueltos de Mecánica Cuántica

Enunciado1

Si

tiene norma unidad y es c un número complejo que cumpla |c|² = 1, demostrar que

también tiene norma unidad.

Enunciado2

Probar que el operador

, donde n = 0, 1, 2, ... , tiene vectores propios

y valores propios

. Aquí

son los vectores propios y los valores propios, respectivamente, del operador observable Â .

Utilizando el resultado del apartado anterior, probar qua el operador f(Â) tiene vectores propios

y valores propios {f(Â)}

Enunciado3

Demostrar que, según exige el postulado 1, la cantidad

no varia si se sustituye el vector

por el vector c.

, donde c es un escalar cualquiera que cumple |c|² = 1.

Enunciado 4

Probar que para todo k se verifica la desigualdad

Enunciado 5

Probar que si

, la medida de Â en el instante t da ciertamente el valor A_k.

Probar que, si la medida de Â en el instante t da ciertamente el valor A_k , entonces se cumplirá

Enunciado 6

Si es f(z) una función real cualquiera desarrollable en serie de Taylor demostrar que la esperanza <f(Â)>_t de f(Â) en el estado , viene dada por :

donde

son los valores propios y vectores propios, respectivamente, del operador observable A.

Enunciado 7

Utilizando el desarrollo en serie de potencias ya conocido de f(Â), probar directamente que Â y f(Â) conmutan.

Utilizando el hecho de Â y f(Â) tienen la misma base propia

, probar directa mente que Â y f(Â) son compatibles.

Enunciado 8

Supongamos que Â y Ê "casi" poseen una base propia común; concretamente, supongamos que cuando se desarrollan los vectores propios de Ê en función de los vectores propios de Â, se tiene :

a) verificar que este desarrollo es compatible con la ortonormalidad de

; es decir, probar que si

, también será

b) Desarrollar los vectores propios de Â en función de los vectores propios de Ê.

c) Probar que si M_A da uno cualquiera de los valores A₃, A₄, ... , A_n , entonces M'_A dará necesariamente el mismo resultado.

d) Probar que si M_A da el valor A₁, existe entonces una probabilidad 5/8 de que M'_A dé A₁ y una probabilidad 3/8 de que M'_A dé A₂

Enunciado 9

Demostrar que, siendo Â un operador hermítico, también lo es el operador Â' definido mediante :

Enunciado 10

Probar que se verifica :

donde Â' y Ê' están definidos según Â' = Â - <Â>.


PROBLEMAS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
grupo primero	grupo segundo	grupo tercero	grupo cuarto	grupo quinto


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