Enunciado1
Si Ψ(x) tiene norma unidad y es c un nÚmero complejo
que cumpla \(|c|^2 = 1 \), demostrar que \(\phi(x) = c\phi(x)\)
también tiene norma unidad.
Enunciado2
Probar que el operador c·Ân, donde n = 0, 1, 2, ...
, tiene vectores propios αi(x) y valores propios
c·Âin. Aquí {αi}
y {Ai} son los vectores propios y los valores propios,
respectivamente, del operador observable  .
Utilizando el resultado del apartado anterior, probar qua el operador
f(Â) tiene vectores propios {αi(x)} y valores
propios {f(Â)}
Enunciado3
Demostrar que, según exige el postulado 1, la cantidad |(αk,
Ψt)|² no varia si se sustituye el vector Ψt(x)
por el vector c. Ψt(x) , donde c es un escalar
cualquiera que cumple |c|² = 1.
Enunciado 4
Probar que para todo k se verifica la desigualdad
\(0 \leq |\alpha_k , \psi_t|^2 \leq 1 \)
Enunciado 5
Probar que si ψt(x) = c·αk(x),
donde |c|² = 1 , la medida de  en el instante t da ciertamente
el valor Ak.
Probar que, si la medida de  en el instante t da ciertamente
el valor Ak , entonces se cumplirá ψt(x)
= c·αk(x), donde |c|² = 1
Enunciado
6
Si es f(z) una función real cualquiera desarrollable en serie de
Taylor demostrar que la esperanza <f(Â)>t
de f(Â) en el estado ψt(x, t), viene dada por :
\(\displaystyle <f(\hat{A})>_t = \sum_{k=1}^\infty\left|\alpha_k
, \psi_t\right|^2 f(A_k)
\)
donde {Ak} y {αk(x)} son los valores
propios y vectores propios, respectivamente, del operador observable
A.
Enunciado 7
Utilizando el desarrollo en serie de potencias ya conocido de
f(Â), probar directamente que  y f(Â) conmutan.
Utilizando el hecho de  y f(Â) tienen la misma base propiaαi(x)
, probar directa mente que  y f(Â) son compatibles.
Enunciado 8
Supongamos que  y Ê "casi" poseen una base propia común; concretamente,
supongamos que cuando se desarrollan los vectores propios de Ê
en función de los vectores propios de Â, se tiene :
\(\displaystyle\begin{array}{ccc}
\beta_1(x) & = & (\sqrt{3}/2)\alpha_1(x)+ (1/2)\alpha_2(x)
\\
\beta_2(x) & = & (1/2)\alpha_1(x)-(\sqrt{3}/2)\alpha_2(x)
\\
\beta_n(x) & = & \alpha_n(x) \quad ; \textrm{para }
n \geq 3
\end{array} \)
a) verificar que este desarrollo es compatible con la ortonormalidad
de {αi(x)} y {βi(x)}; es decir,
probar que si (αi(x), αj(x))
= δij , también será (βi(x),
βj(x)) = δij
b) Desarrollar los vectores propios de  en función de los vectores
propios de Ê.
Enunciado 9
Demostrar que, siendo  un operador hermítico, también lo es el
operador Â' definido mediante :
\(\hat{A}' = \hat{A}- <\hat{A}> \)
Ver Solución
Enunciado 10
Probar que se verifica :
\((\hat{A}'\hat{E}'-\hat{E}'\hat{A}') = (\hat{A}\hat{E}-\hat{E}\hat{A})
\)
donde Â' y Ê' están definidos según \(\hat{A}' = \hat{A}- <\hat{A}>
\) .
Ver Solución
EJERCICIOS
RESUELTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA - FÍSICA
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