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PROBLEMAS RESUELTOS de MECÁNICA CUÁNTICA

 
Enunciado1

Si Ψ(x) tiene norma unidad y es c un nÚmero complejo que cumpla \(|c|^2 = 1 \), demostrar que \(\phi(x) = c\phi(x)\) también tiene norma unidad. Enunciado2

Probar que el operador c·Ân, donde n = 0, 1, 2, ... , tiene vectores propios αi(x) y valores propios c·Âin. Aquí {αi} y {Ai} son los vectores propios y los valores propios, respectivamente, del operador observable  .

Utilizando el resultado del apartado anterior, probar qua el operador f(Â) tiene vectores propios {αi(x)} y valores propios {f(Â)} Enunciado3

Demostrar que, según exige el postulado 1, la cantidad |(αk, Ψt)|² no varia si se sustituye el vector Ψt(x) por el vector c. Ψt(x) , donde c es un escalar cualquiera que cumple |c|² = 1. Enunciado 4

Probar que para todo k se verifica la desigualdad
    \(0 \leq |\alpha_k , \psi_t|^2 \leq 1 \)
Enunciado 5

Probar que si ψt(x) = c·αk(x), donde |c|² = 1 , la medida de  en el instante t da ciertamente el valor Ak.

Probar que, si la medida de  en el instante t da ciertamente el valor Ak , entonces se cumplirá ψt(x) = c·αk(x), donde |c|² = 1 Enunciado 6

Si es f(z) una función real cualquiera desarrollable en serie de Taylor demostrar que la esperanza <f(Â)>t de f(Â) en el estado ψt(x, t), viene dada por :

    \(\displaystyle <f(\hat{A})>_t = \sum_{k=1}^\infty\left|\alpha_k , \psi_t\right|^2 f(A_k) \)
donde {Ak} y {αk(x)} son los valores propios y vectores propios, respectivamente, del operador observable A. Enunciado 7

Utilizando el desarrollo en serie de potencias ya conocido de f(Â), probar directamente que  y f(Â) conmutan.

Utilizando el hecho de  y f(Â) tienen la misma base propiaαi(x) , probar directa mente que  y f(Â) son compatibles. Enunciado 8

Supongamos que  y Ê "casi" poseen una base propia común; concretamente, supongamos que cuando se desarrollan los vectores propios de Ê en función de los vectores propios de Â, se tiene :

    \(\displaystyle\begin{array}{ccc}
    \beta_1(x) & = & (\sqrt{3}/2)\alpha_1(x)+ (1/2)\alpha_2(x) \\
    \beta_2(x) & = & (1/2)\alpha_1(x)-(\sqrt{3}/2)\alpha_2(x) \\
    \beta_n(x) & = & \alpha_n(x) \quad ; \textrm{para } n \geq 3
    \end{array} \)
a) verificar que este desarrollo es compatible con la ortonormalidad de {αi(x)} y {βi(x)}; es decir, probar que si (αi(x), αj(x)) = δij , también será (βi(x), βj(x)) = δij

b) Desarrollar los vectores propios de  en función de los vectores propios de Ê.
Enunciado 9

Demostrar que, siendo  un operador hermítico, también lo es el operador Â' definido mediante :
    \(\hat{A}' = \hat{A}- <\hat{A}> \)
Ver Solución
Enunciado 10

Probar que se verifica :
    \((\hat{A}'\hat{E}'-\hat{E}'\hat{A}') = (\hat{A}\hat{E}-\hat{E}\hat{A}) \)
donde Â' y Ê' están definidos según \(\hat{A}' = \hat{A}- <\hat{A}> \) .
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tema escrito por: José Antonio Hervás