PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de cálculo integral

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Ejercicios resueltos de Cálculo Integral

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Ejercicios de cálculo integral

Respuesta al ejercicio 70

Tenemos la primera integral:
    \(\displaystyle\int \frac{x^2dx}{\sqrt{x^2-4}} \)
Para obtener la integral aplicamos la sustitución trigonométrica:
    \(\displaystyle x=2\sec z\Rightarrow dx=2\sec z \tan z \)
Con lo cual :
    \(\displaystyle \int \frac{x^2 dx}{\sqrt{x^2- 4}} = \int \frac{4·\sec^2 \tan x dx}{\sqrt{4 \sec^2 x - 4}} = 4 \int \sec^3 x·dx \)
Esta integral también se puede poner:
    \(\displaystyle 4 \int \sec^3 x·dx = 4 \int \sec x·\sec^2x· dx \)
Que admite una integración por partes haciendo:
    \(\displaystyle u = \sec x \quad ; \quad dv = \sec^2 dx \)
Con lo cual:
    \(\displaystyle du = \sec x·\tan x·dx \quad ; \quad v = \tan x \)
Por lo que finalmente tendremos:
    \(\displaystyle 4\int \sec^3 x dx = 4\sec x \tan x - 4\int \tan^2 x\sec x dx\)
Pero en la integral de la derecha tenemos en cuenta la identidad trigonométrica :
    \(\displaystyle \tan^2 x = \sec^2 x - 1\)
Con lo cual, podemos poner :
    \(\displaystyle 4 \int \sec^3 x dx = 4\sec x \tan x - 4\int (\sec^2 x - 1)\sec x dx\)
Y a partir de ahÝ, por unas sencillas manipulaciones:
    \(\displaystyle 4 \int \sec^3 x dx = 2 \sec x \tan x + 2·\ln (\sec x + \tan x) + C\)
Y volviendo a la variable original:
    \(\displaystyle \int \frac{x^2 dx}{\sqrt{x^2 - 4}} = \frac{1}{2}x \sqrt{x^2-4} + 2·\ln (x + \sqrt{x^2 -4}) + C \)
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tema escrito por: José Antonio Hervás