PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de cálculo integral

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Ejercicios resueltos de Cálculo Integral

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Ejercicios de cálculo integral

Respuesta al ejercicio 69

La integral a resolver es :
    \(\displaystyle \int \frac{dy}{(y^2-2y+5)^2} \)
En primer lugar transformamos la integral como sigue:
    \(\displaystyle\int \frac{dy}{(y^2-2y+5)^2} = \int \frac{dy}{(y^2 - 2y +1 + 4)^2} = \int \frac{dy}{[(z-1)^2 + 4]^2 }\)
Aqui podemos hacer el cambio de variable:
    \(y-1 = 2·\tan \theta \Rightarrow dz = 2·\sec^2 \theta·d\theta\)
Por lo que la integral quedará:
    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    \int \frac{dy}{[(z-1)^2 + 4]^2 } = \int \frac{2·\sec^2 \theta· d\theta}{(4\tan^2 \theta + 4)^2} =\int \frac{2·\sec^2 \theta ·d\theta}{(4(\tan^2 \theta + 1))^2} \\  \\=
    \int \frac{2·\sec^2 \theta· d\theta}{16(\sec^4 \theta )} =\int \frac{d\theta}{8·\sec^2\theta} = \frac{1}{8}\int \cos^2\theta d\theta
    \end{array}\)
Haciendo ahora uso de las identidades
    \(\cos 2\theta = \cos^2 \theta - 1\quad ; \quad \sin 2\theta = 2·\sin \theta·\cos \theta\)
Podemos poner finalmente :
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \int \frac{dy}{(y^2-2y+5)^2} = \int \frac{dy}{[(z-1)^2 + 4]^2 }= \frac{1}{16}\int (\cos 2\theta + 1)d\theta = \\  \\= \frac{1}{16}·\frac{1}{2}\sin 2\theta + \frac{1}{16}·\theta + C= \frac{1}{32}(2·\sin \theta·\cos \theta) + \frac{1}{16}·\theta + C\end{array}\)
Para volver a la variable original sabemos que se tiene:
    \(\displaystyle y-1 = 2.\tan \theta \Rightarrow \tan \theta= \frac{y-1}{2} \Leftrightarrow \theta = \arctan \frac{y-1}{2} \)
Y considerando el triángulo adjunto:
trángulo

Se deducen las relaciones:
    \(\displaystyle \sin \theta = \frac{y-1}{\sqrt{y^2-2y+5}} \quad ; \quad \cos \theta = \frac{2}{\sqrt{y^2-2y+5}} \)
Con lo que podemos sustituir en la expresión general para obtener :
    \(\displaystyle \int \frac{dy}{(y^2-2y+5)^2} = \frac{1}{8}\frac{y-1}{(y^2-2y+5)} + \frac{1}{16}·\arctan \left(\frac{y-1}{2}\right) + C\)
PROBLEMA RESUELTOS - CÁLCULO INTEGRAL - MATEMÁTICAS
 


tema escrito por: José Antonio Hervás