PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de cálculo integral

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Ejercicios resueltos de Cálculo Integral

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Ejercicios de cálculo integral

Respuesta al ejercicio 67

Tenemos la primera integral:
    \(\displaystyle\int \frac{dx}{x^2\sqrt{4-x^2}} \)
Puesto que en el integrando tenemos una expresión de la forma \(\sqrt{a^2-x^2}\) vamos a resolver la integral ensayando una sustición de la forma:
    \(\displaystyle x = 2·\sin \theta \left(- \frac{\pi}{2} < \theta <\frac{\pi}{2} \right)\Rightarrow dx = 2·\cos \theta·d\theta \quad (*) \)
De tal manera que tenemos:
    \(\displaystyle\begin{array}{l}
    \int \frac{dx}{x^2\sqrt{4-x^2}} = \int\frac{2·\cos \theta·d\theta }{(2·\sin \theta)^2\sqrt{4 -(2·\sin \theta)^2 } } \Rightarrow \\  \\
    \Rightarrow \int \frac{\cos \theta d\theta}{2·\sin^2 \theta ·2 \sqrt{\cos^2 \theta}}= \int \frac{d\theta}{4·\sin^2 \theta} = \frac{1}{4}\cot \theta + C \end{array} \)
Pero de (*) sabemos que se tiene:
    \(\displaystyle x = 2·\sin \theta \Rightarrow \sin \theta = \frac{x}{2} \)
Por lo que observando el triángulo rectángulo de la figura adjunta :

trángulo

Podemos deducir que se tiene:
    \(\displaystyle \sin \theta = \frac{x}{2} \Rightarrow \cot \theta = \frac{\sqrt{4-x^2}}{x} \)
Con lo que sustiyendo en la expresión de la integral, nos queda:
    \(\displaystyle\int \frac{dx}{x^2\sqrt{4-x^2}} = \frac{1}{4}\cot \theta + C =\frac{\sqrt{4-x^2}}{4x} + C\)
PROBLEMA RESUELTOS - CÁLCULO INTEGRAL - MATEMÁTICAS
 


tema escrito por: José Antonio Hervás