PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICA
ejercicios resueltos de cálculo integral. Aplicaciones de las integrales

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Ejercicios resueltos de Cálculo Integral

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Ejercicios de cálculo integral

Resolver la correspondiente integrales dada por la ecuación:
    \( \displaystyle \int \frac{4x - 2}{x^3 - x^2 - 2x}dx \)
Respuesta al ejercicio 66

Para resolver la integral, factorizamos el denominador y expresamos el integrando como una suma de fracciones parciales:
    \(\displaystyle \frac{4x - 2}{x^3 - x^2 - 2x} = \frac{4x-2}{x(x-2)(x+1)} \equiv \frac{A}{x} + \frac{B}{x-2} + \frac{C}{x+1} \quad (1)\)
Operando con esta expresión obtenemos el sistema :
    \(\displaystyle \begin{array}{l} A+B+C = 0 \; ;\; -A+B-2C = 4\; ;\;-2A=-2 \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow A = 1\; ;\;B = 1\; ;\;C = -2 \end{array} \)
Y sustituyendo en (1) los valores de A, B y C obtenidos, resulta:
    \(\displaystyle \frac{4x-2}{x(x-2)(x+1)} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x-2} - \frac{2}{x+1} \)
y a partir de ahí :
    \(\displaystyle\int\frac{4x-2}{x(x-2)(x+1)}dx = \int\frac{dx}{x} + \int\frac{dx}{x-2} - \int \frac{2dx}{x+1} \)
Con lo cual, al ser cada integración inmediata:
    \(\displaystyle\int\frac{4x-2}{x(x-2)(x+1)}dx = \ln x + \ln (x-2) - 2·\ln(x+1) + C\)
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tema escrito por: José Antonio Hervás