PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICA
ejercicios resueltos de cálculo integral. Aplicaciones de las integrales

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Ejercicios resueltos de Cálculo Integral

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Ejercicios de cálculo integral

Resolver la integral racional siguiente:
    \( \displaystyle \int \frac{5x^2 - 11x + 5}{x^3 - 4x^2 + 5x - 2}dx \)
Respuesta al ejercicio 64

Para resolver la integral, factorizamos el denominador encontrando sus raices por el método de Ruffini:
    \(\displaystyle \frac{5x^2 - 11x + 5}{x^3 - 4x^2 + 5x - 2} =\frac{5x^2 - 11x + 5}{(x-1)^2(x-2)} \)
y expresamos el integrando como una suma de fracciones parciales:
    \(\displaystyle \frac{5x^2 - 11x + 5}{(x-1)^2(x-2)} \equiv \frac{A}{(x-1)^2} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x-2} \quad (1)\)
Operando con esta expresión obtenemos el sistema :
    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    B+C = 5 \; ;\; A-3B -2C = -11\; ;\; -2A+2B + C = 5\Rightarrow \\
    \Rightarrow A = 1\; ;\;B = 2 \; ; \;C = 3
    \end{array}\)
Y sustituyendo en (1) los valores de A , B y C obtenidos, resulta:
    \(\displaystyle \frac{5x^2 - 11x + 5}{(x-1)^2(x-2)} \equiv \frac{1}{(x-1)^2} + \frac{2}{x-1} + \frac{3}{x-2} \)
y a partir de ahí :
    \(\displaystyle\int\frac{5x^2 - 11x + 5}{(x-1)^2(x-2)}dx = \int\frac{dx}{(x-1)^2} + \int\frac{2dx}{x-1} + \int\frac{3dx}{x-2} \)
Con lo cual, al ser cada integral de resolución inmediata:
    \(\displaystyle\int\frac{5x^2 - 11x + 5}{(x-1)^2(x-2)}dx =- \frac{1}{x-1} + 2·\ln (x-1) + 3·\ln (x-2) + C\)
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tema escrito por: José Antonio Hervás