PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de cálculo integral

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Ejercicios resueltos de Cálculo Integral

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Ejercicios de cálculo integral

Respuesta al ejercicio 61

Tenemos la integral :

    \( \displaystyle\int \frac{x^2dx}{x^2 + x-6} \)

Expresando el integrando en la forma parte entera-fracción propia. Y factorizando el denominador obtenemos:
    \(\displaystyle \frac{x^2}{x^2+x-6} = 1 - \frac{x-6}{x^2+x-6} = 1 - \frac{x-6}{(x+3)(x-2)} \)
Con lo cual:
    \(\displaystyle \int\frac{x^2}{x^2+x-6}dx =\int \left(1 - \frac{x-6}{(x+3)(x-2)}\right)dx = x - \int \frac{x-6}{(x+3)(x-2)}dx + C
    \)
Para tratar integral que queda expresamos el integrando como una suma de fracciones parciales:
    \(\displaystyle \frac{x-6}{(x+3)(x-2)} \equiv \frac{A}{x+3} + \frac{B}{x-2}\quad (1)\)
Operando con esta expresión obtenemos el sistema :
    \(\displaystyle A + B = 1 \quad ;\quad - 2A + 3B = -6\Rightarrow B = - \frac{4}{5} \quad ; A = \frac{9}{5} \)
Y sustituyendo en (1) los valores de A y B obtenidos, resulta:
    \(\displaystyle \frac{x-6}{(x+3)(x-2)} \equiv \frac{9}{5(x+3)} - \frac{4}{5(x-2)} \)
y a partir de ahí :
    \(\displaystyle\int\frac{x-6}{(x+3)(x-2)}dx = \frac{9}{5}\int \frac{dx}{(x+3)} - \frac{4}{5}\int \frac{dx}{(x-2)}\)
Con lo cual :
    \(\displaystyle \int\frac{x-6}{(x+3)(x-2)}dx = \frac{9}{5}\ln (x+3) - \frac{4}{5}\ln (x-2) + C_1\)
Y sustituyendo en la expresión general :
    \(\displaystyle \int \frac{x^2 dx}{x^2 + x - 6} = x - \frac{9}{5}\ln (x+3) + \frac{4}{5}\ln (x-2) + C_2\)
PROBLEMA RESUELTOS - CÁLCULO INTEGRAL - MATEMÁTICAS
 


tema escrito por: José Antonio Hervás