PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de cálculo integral

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Ejercicios resueltos de Cálculo Integral

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Ejercicios de cálculo integral

Respuesta al ejercicio 60

Tenemos la primera integral:
    \(\displaystyle\int \frac{\sec^2 x}{\tan x}dx \)
Vamos a calcular la derivada del denominador:
    \(\displaystyle \frac{d}{dx}(\tan x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right) = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x \)
Es decir que el numerador del inegrando es igual a la derivada del denominador; por lo tanto si hacemos el cambio de variable:
    \(\displaystyle \tan x = z \Rightarrow \frac{d}{dx}(\tan x)= \sec^2 x \Rightarrow dz = \sec^2 x dx \)
Por lo que finalmente tendremos:
    \(\displaystyle \int \frac{\sec^2 x}{\tan x}dx = \int \frac{dz}{z}= \ln z + C \Rightarrow \int \frac{\sec^2 x}{\tan x}dx = \ln \tan x + C \)
Para la segunda integral que es:
    \(\displaystyle \int \tan x \sec^2 x dx \)
En este caso tenemos el producto de dos funciones, siendo la de la derecha derivada de la otra, según hemos podido comprobar en la primera parte del ejercicio.Por lo tanto, haciendo el cambio:
    \(\displaystyle \tan x = z \Rightarrow \frac{d}{dx}(\tan x)= \sec^2 x \Rightarrow dz = \sec^2 x dx \)
Por lo que finalmente tendremos:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \int \tan x \sec^2 x dx = \int \tan x d(\tan x)= \\  \\ = \int zdz = \frac{z^2}{2} + C = \frac{(\tan x)^2}{2} + C \end{array}\)
PROBLEMA RESUELTOS - CÁLCULO INTEGRAL - MATEMÁTICAS
 


tema escrito por: José Antonio Hervás