PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICA
ejercicios resueltos de cálculo integral. Aplicaciones de las integrales

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Ejercicios resueltos de Cálculo Integral

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Ejercicios de cálculo integral

Obtener el valor de las integrales:
    \( \displaystyle \int \frac{\sec^2 x}{\tan x}dx \quad ; \quad \int \tan x \sec^2 x dx \)
Aplicando alguno de los metodos de integración vistos en problemas anteriores.
Respuesta al ejercicio 60

Tenemos la primera integral:
    \(\displaystyle\int \frac{\sec^2 x}{\tan x}dx \)
Vamos a calcular la derivada del denominador:
    \(\displaystyle \frac{d}{dx}(\tan x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right) = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x \)
Es decir que el numerador del inegrando es igual a la derivada del denominador; por lo tanto si hacemos el cambio de variable:
    \(\displaystyle \tan x = z \Rightarrow \frac{d}{dx}(\tan x)= \sec^2 x \Rightarrow dz = \sec^2 x dx \)
Por lo que finalmente tendremos:
    \(\displaystyle \int \frac{\sec^2 x}{\tan x}dx = \int \frac{dz}{z}= \ln z + C \Rightarrow \int \frac{\sec^2 x}{\tan x}dx = \ln \tan x + C \)
Para la segunda integral que es:
    \(\displaystyle \int \tan x \sec^2 x dx \)
En este caso tenemos el producto de dos funciones, siendo la de la derecha derivada de la otra, según hemos podido comprobar en la primera parte del ejercicio.Por lo tanto, haciendo el cambio:
    \(\displaystyle \tan x = z \Rightarrow \frac{d}{dx}(\tan x)= \sec^2 x \Rightarrow dz = \sec^2 x dx \)
Por lo que finalmente tendremos:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \int \tan x \sec^2 x dx = \int \tan x d(\tan x)= \\  \\ = \int zdz = \frac{z^2}{2} + C = \frac{(\tan x)^2}{2} + C \end{array}\)
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tema escrito por: José Antonio Hervás