PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de cálculo integral

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Ejercicios resueltos de Cálculo Integral

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Ejercicios de cálculo integral

Respuesta al ejercicio 56

Consideramos la primera integral:

    \(\displaystyle \int \cos^2 x dx \)

Para resolver esta integral recordamos la fórmula del angulo mitad:
    \(\displaystyle \cos x = \sqrt{\frac{1 + \cos 2x}{2}} \)
Con lo cual podemos poner la integral:
    \(\displaystyle \int \cos^2 x dx = \int\left(\sqrt{\frac{1 + \cos 2x}{2}}\right)^2 = \frac{1}{2}\int (1+ \cos 2x )dx \)
Para resolver esta integral hacemos el cambio de variable:
    \(\displaystyle 2x = t \Rightarrow 2dx = dt \Rightarrow dx = \frac{dt}{2} \)
Con lo que tenemos:
    \(\displaystyle \frac{1}{2}\int (1+ \cos 2x )dx = \frac{1}{2}\int (1+ \cos t )\frac{dt}{2} = \frac{1}{4}\int (1 + \cos t)dt \)
Y a partir de ahí:
    \(\displaystyle \frac{1}{4}\int (1 + \cos t)dt =\frac{1}{4} \left[\int dt + \int \cos t dt \right] = \frac{1}{4}(t + \sin t)+ C \)
Por lo que desaciendo el cambio de variable:
    \(\displaystyle \int \cos^2 x dx = \frac{1}{4}(2x + \sin 2x)+ C \)
En la segunda integral tenemos:
    \(\displaystyle \int \sin^2 x dx \)
Para resolver la integral usamos la igualdad trigonométrica:
    \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1 \Rightarrow \sin^2 x = 1- \cos^2 x \)
Y sustituyendo en la integral, nos queda :
    \(\displaystyle \int \sin^2 x dx = \int (1- \cos^2 x) dx = \int dx - \int \cos^2 x dx = x - \int \cos^2 x dx \)
La integral que nos queda ha sido resuelta en la primera parte, por lo que nos quedará:
    \(\displaystyle\int \sin^2 x dx = x - \frac{1}{4}(2x + \sin 2x) + C = \frac{1}{4}(2x - \sin 2x) + C \)
PROBLEMA RESUELTOS - CÁLCULO INTEGRAL - MATEMÁTICAS
 


tema escrito por: José Antonio Hervás