PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de cálculo integral

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Ejercicios resueltos de Cálculo Integral

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Ejercicios de cálculo integral

Respuesta al ejercicio 55

La primera integral es:

    \(\displaystyle \int \frac{1 + \sqrt{x}}{x}dx \)

Para resolver esta integral dividimos cada uno de los términos del numerador por el denominador:
    \(\displaystyle \int \frac{1 + \sqrt{x}}{x}dx = \int \left(\frac{1}{x} + \frac{\sqrt{x}}{x}\right)dx = \int \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)dx \)
Descomponiendo la integral en suma de integrales, tenemos:
    \(\displaystyle \int \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)dx = \int\frac{1}{x}dx + \int\frac{1}{\sqrt{x}}dx = \ln x + 2\sqrt{x} + C \)
En la segunda integral tenemos:
    \(\displaystyle \int\frac{1}{(x-1)^2}dx \)
Para resolver la integral vamos a ensayar un cambio de variable.Efectuando el cambio:
    \(x-1 = z \Rightarrow dx = dz \)
Y sustituyendo en la integral, nos queda :
    \(\displaystyle \int\frac{1}{(x-1)^2}dx =\int \frac{1}{z^2}dz \)
Con lo que podemos hacer:
    \(\displaystyle\int \frac{1}{z^2}dz = \int z^{-2}dz = \frac{z^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{z^{-1}}{-1}+ C = -\frac{1}{z} + C \)
Y deshaciendo el cambio de variable:
    \(\displaystyle -\frac{1}{t} + C = - \frac{1}{x-1} + C \quad ; \quad \int \frac{dx}{(x-1)^2} = - \frac{1}{x-1} + C \)
PROBLEMA RESUELTOS - CÁLCULO INTEGRAL - MATEMÁTICAS
 


tema escrito por: José Antonio Hervás