PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de cálculo integral

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Ejercicios resueltos de Cálculo Integral

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Ejercicios de cálculo integral

Respuesta al ejercicio 52

La primera integral es:

    \(\displaystyle \int \frac{\ln^2 x}{2x -2x\ln x + x\ln^2 x}dx \)

Tenemos, como en el ejercicio anterior, que si derivamos el denominador obtenemos la expresión del numerador. Por lo tanto, representando el denominador por z, resulta:
    \(\displaystyle z = 2x -2x\ln x + x\ln^2 x \Rightarrow \frac{dz}{dx}= 2 - 2\ln x - 2x\frac{1}{x}+ \)

    \(\displaystyle + \ln^2 x + x2\ln x \frac{1}{x} = \ln^2 x \Rightarrow dz = (\ln^2 x) dx \)
Con estos datos podemos escribir la integral en terminos de z:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \int \frac{\ln^2 x}{2x -2x\ln x + x\ln^2 x}dx = \\  \\ = \frac{1}{2x -2x\ln x + x\ln^2 x}\times (\ln^2 x)dx = \int \frac{1}{z}dzt \end{array}\)
Y a partir de ahí:
    \(\displaystyle \frac{1}{z}dz = \ln z+ C \Rightarrow \ln (2x -2x\ln x + x\ln^2 x) + C\)
Sea ahora la segunda integral:

    \(\displaystyle \int\frac{e^x}{(e^x + 1)}dx \)

podemos ver,también en este caso, que si derivamos el denominador obtenemos la expresión del numerador. Por lo tanto, representando el denominador por t, resulta:
    \(\displaystyle t =e^x + 1 \Rightarrow dt = e^x dx \Rightarrow \frac{dt}{dx} = e^x \)
Con estos datos podemos escribir la integral en terminos de t:
    \(\displaystyle \int\frac{e^x}{(e^x + 1)}dx = \frac{1}{e^x + 1}\times e^xdx = \int \frac{1}{t}dt\)
Y a partir de ahí:
    \(\displaystyle \frac{1}{t}dt = \ln t + C \Rightarrow \ln (e^x+ 1) + C\)
PROBLEMA RESUELTOS - CÁLCULO INTEGRAL - MATEMÁTICAS
 


tema escrito por: José Antonio Hervás