PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de cálculo integral

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Ejercicios resueltos de Cálculo Integral

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Ejercicios de cálculo integral

Respuesta al ejercicio 51

Para la primera integral tenemos:

    \(\displaystyle \int \frac{(2x+3)}{x^2+ 3x + 5}dx \)

podemos ver, a primera vista, que si derivamos el denominador obtenemos la expresión del numerador. Por lo tanto, representando el denominador por t, resulta:
    \(\displaystyle t = x^2 +3x+5 \Rightarrow \frac{dt}{dx} = 2x + 3 \Rightarrow dt = (2x+3)dx\)
Con estos datos podemos escribir la integral en terminos de t:
    \(\displaystyle \int \frac{(2x+3)}{x^2+ 3x + 5}dx = \frac{1}{x^2+ 3x + 5}\times (2x+3)dx = \int \frac{1}{t}dt\)
Y a partir de ahí:
    \(\displaystyle \frac{1}{t}dt = \ln t + C \Rightarrow \ln (x^3 + 3x -5) + C\)
Sea ahora la segunda integral:

    \(\displaystyle \int\frac{5x^4-4x^3 + 3x^2}{x^5-x^4+x^3}dx \)

podemos ver,también en este caso, que si derivamos el denominador obtenemos la expresión del numerador. Por lo tanto, representando el denominador por t, resulta:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} t =x^5-x^4+x^3 \Rightarrow \frac{dt}{dx} = 5x^4-4x^3 + 3x^2 \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow dt = (5x^4-4x^3 + 3x^2)dx \end{array} \)
Con estos datos podemos escribir la integral en terminos de t:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \int\frac{5x^4-4x^3 + 3x^2}{x^5-x^4+x^3}dx = \\  \\ = \frac{1}{x^5-x^4+x^3}\times (5x^4-4x^3 + 3x^2)dx = \int \frac{1}{t}dt \end{array}\)
Y a partir de ahí:
    \(\displaystyle \frac{1}{t}dt = \ln t + C \Rightarrow \ln (x^5-x^4+x^3) + C\)
PROBLEMA RESUELTOS - CÁLCULO INTEGRAL - MATEMÁTICAS
 


tema escrito por: José Antonio Hervás