PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de cálculo integral

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Ejercicios resueltos de Cálculo Integral

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Ejercicios de cálculo integral

Respuesta al ejercicio 45

Para solucionar esta integral, aplicamos el metodo de los coeficientes indeterminados, para lo cual hacemos:

    \( \displaystyle\frac{x}{(x-1)(x+1)^2}= \frac{A}{x-1} + \frac{B_1}{x+1}+ \frac{B_2}{(x+1)^2} \)

De donde:
    \( x\equiv A(x+1)^2 + B_1(x-1)(x+1) + B_2(x-1) \)
Que es lo mismo que poner:
    \(x\equiv (A + B_1)x^2 + (2A+B_2)x + (A - B_1 - B_2) \)
Igualando los coeficientes de cada una de las potencias de x, tenemos:
    \( 0= A + B_1 \; ; \;1 = 2A+B_2 \; ; \;0 = A - B_1 - B_2 \)
Y el sistema de tres ecuaciones con tres incognitas nos dará:
    \( \displaystyle A = \frac{1}{4} \; ; \; B_1 = - \frac{1}{4}\; ; \; B_2 = \frac{1}{2} \)
Con lo cual podemos poner la integral en la forma:
    \( \displaystyle\int \frac{xdx}{(x-1)(x+1)^2} = \int\frac{1}{4(x-1)} -\int \frac{1}{4(x+1)}+ \)

    \( \displaystyle + \int \frac{1}{2(x+1)^2} = \frac{1}{4}\ln|x-1|-\frac{1}{4}\ln|x+1|-\frac{1}{2(x+1)} + C\)
Y rerdenando:
    \( \displaystyle -\frac{1}{2(x+1)}+ \frac{1}{4}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + C \)
PROBLEMA RESUELTOS - CÁLCULO INTEGRAL - MATEMÁTICAS
 


tema escrito por: José Antonio Hervás