PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de cálculo integral

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Ejercicios resueltos de Cálculo Integral

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Ejercicios de cálculo integral

Respuesta al ejercicio 42

Para encontrar la solución de esta integral, aplicamos la fórmula:

    \( \displaystyle \int\frac{P(x)dx}{\sqrt{ax^2 + bx + c}} = Q(x)\sqrt{ax^2 + bx + c} + A\int\frac{dx}{\sqrt{ax^2 + bx + c}} \)

Donde Q(x) es un polinomio de grado inferior a P(x). Así tenemos:

    \( \displaystyle\int\frac{x^3dx}{\sqrt{a^2 + x^2}} = (Ax^2 + Bx + C)\sqrt{a^2 + x^2} + M \int\frac{dx}{\sqrt{a^2 + x^2}} \)

Y derivando bajo el sino integral:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \frac{x^3}{\sqrt{a^2 + x^2}} = (2Ax + B )\sqrt{a^2 + x^2} + \\  \\ + (Ax^2 + Bx + C)\frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}} + \frac{M}{\sqrt{a^2 + x^2}} \end{array} \)
Quitando denominadores:
    \( \displaystyle x^3 = (2Ax + B )\sqrt{a^2 + x^2} + (Ax^2 + Bx + C)x + M \)
E identificando coeficientes:
    \( \displaystyle 1 = 2A + A \rightarrow A = \frac{1}{3} \;; \;0 = B + B \rightarrow B = 0 \)

    \( \displaystyle 0 = A a^2 + C \rightarrow C = - Aa^2 = - \frac{2a^2}{3} \; ; \; 0 = Ba^2 + M \rightarrow M = 0 \)
Porlo que sustituyendo :
    \( \displaystyle \int\frac{x^3dx}{\sqrt{a^2 + x^2}} = \frac{x^2- 2a^2}{3}\sqrt{a^2 + x^2} \)
PROBLEMA RESUELTOS - CÁLCULO INTEGRAL - MATEMÁTICAS
 


tema escrito por: José Antonio Hervás