PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de cálculo integral

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Ejercicios resueltos de Cálculo Integral

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Ejercicios de cálculo integral

Respuesta al ejercicio 39

En este caso, la teoría nos sugiere un cambio de variable dado por:

    \( \displaystyle \sqrt{1 + x + x^2} = x + t\)

Con lo cual, elevando al cuadrado y operando:

    \( \displaystyle 1 + x + x^2 = (x + t)^2 = x^2 + t^2 + 2xt \rightarrow x = \frac{t^2-1}{1-2t}\)

Y a partir de ahí:

    \( \displaystyle dx = d\left(\frac{t^2-1}{1-2t}\right) = \frac{2t-2t^2 - 2}{(1-2t)^2}dt \)

Por lo que, sustituyendo en la integral inicial y operando nos queda:

    \( \displaystyle \int\frac{dx}{(1+x)\sqrt{1 + x + x^2}}= \int\frac{2dt}{t^2 - 2t}=\int\frac{2dt}{t(t-2)}\)

Que es una integral racional que podemos resolver descomponiendo el integrando en fracciones simples:

    \( \displaystyle\int\frac{2dt}{t(t-2)} = \int\frac{Adt}{t} + \int\frac{Bdt}{t-2}= \int\frac{dt}{t} + \int\frac{dt}{t-2} \)

Las dos integrales resultantes son inmediatas y nos dan:

    \( \displaystyle\int\frac{2dt}{t^2 - 2t} = - \ln t + \ln(t-2) = \ln\left(\frac{t-2}{t}\right)+ C \)

Por lo que deshaciendo el cambio de variable:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} \int\frac{dx}{(1+x)\sqrt{1 + x + x^2}}=\ln\left(\frac{t-2}{t}\right)+ C = \\  \\ = \ln\left(\frac{\sqrt{1+x + x^2}-x-2}{\sqrt{1+x + x^2}- x}\right)+ C \end{array} \)
PROBLEMA RESUELTOS - CÁLCULO INTEGRAL - MATEMÁTICAS
 


tema escrito por: José Antonio Hervás