PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de cálculo integral

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Ejercicios resueltos de Cálculo Integral

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Ejercicios de cálculo integral

Respuesta al ejercicio 37

Para el denominador del integrando podemos hacer:

    \(x^5 6x^3 + 9x = x(x^4 + 6x^2 + 9) \)

Y dentro del paréntesis nos queda una ecuación bicuadrática que podemos resolver por cambio de variable, y = x²; de ese modo:

    \( x^4 + 6x^2 + 9 = y^2 + 6y + 3^2 = (y+3)^2 = (x^2 + 3)^2 \)

Y la integral nos queda:

    \( \displaystyle \int\frac{5x^4 + 11x^3 + 19x - 27}{x^5 + 6x^3 + 9x}dx = \int\frac{5x^4 + 11x^3 + 19x - 27}{x(x^2 + 3)^2}dx \)

Expresión a la que podemos aplicarle el método de Hermite, es decir:

    \( \displaystyle \int\frac{5x^4 + 11x^3 + 19x - 27}{x^5 + 6x^3 + 9x}dx = \frac{ax+b}{x^2 +3}+ \int\frac{A}{x}dx + \int\frac{Bx + C}{x^2 + 3} dx\)

Y derivando

    \( \displaystyle \frac{5x^4 + 11x^3 + 19x - 27}{x(x^2 + 3)^2} = \frac{a(x^2+3)- 2x(ax+b)}{(x^2 + 3)^2} + \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^2 + 3}\)

Quitando denominadores e identificando coeficientes, obtenemos:

    \(\displaystyle a = \frac{26}{3}\; ; \; b= 3 = -A \; ; \; B= 8 \; ; \; C= - \frac{7}{3} \)

Y sustituyendo en la expresión integral:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} \int\frac{5x^4 + 11x^3 + 19x - 27}{x(x^2 + 3)^2}dx =\frac{26x + 9}{3(x^2+3)}- \\  \\ - \int\frac{3}{x}dx + \int\frac{24x - 7}{3(x^2+3)}dx = \frac{26x + 9}{3(x^2+3)}- \\  \\ - 3\ln x + 4\ln (x^2 + 3)- \frac{7}{3\sqrt{3}}\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right) + K \end{array}\)
PROBLEMA RESUELTOS - CÁLCULO INTEGRAL - MATEMÁTICAS
 


tema escrito por: José Antonio Hervás