PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICA
ejercicios resueltos de cálculo integral. Aplicaciones de las integrales

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Ejercicios resueltos de Cálculo Integral

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Ejercicios de cálculo integral

Calcular la integral dada por la ecuación:
    \( \displaystyle \int\frac{dx}{(x^3-1)^2} \)
Respuesta al ejercicio 36

Vemos que el denominador es un polinomio que tiene raíces imaginarias múltiples, por lo que podemos aplicar el método de Hermite para su resolución. Sabemos que la fórmula de Hermite nos da:

    \( \displaystyle\int \frac{P(x)}{Q(x)}dx = \frac{R(x)}{S(x)} +\int \frac{V(x)}{W(x)}dx \)

Donde P(x) es un polinomio en x, de grado inferior a Q(x), que también es un polinomio en x, en este caso con raíces múltiples imaginarias. R(x) es un polinomio en x de un grado inferior a S(x). S(x) es un polinomio en x, que posee todas las raíces de Q(x) pero con un grado de multiplicidad disminuido en una unidad. W(x) es un polinomio en x obtenido al efectuar el cociente Q(x)/S(x). finalmente, V(x) es otro polinomio en x de un grado inferior a W(x).
Con todo lo anterior, tenemos:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} P(x) = 1 \;; \; Q(x)= (x^3-1)^2 \;; \; S(x)= (x^3-1) \\  \\ W(x) = \frac{Q(x)}{S(x)} = (x^3-1)\\  \\ R(x)= ax^2 + bx + c \;; \; V(x) = ex^2 + fx + g \end{array} \)

Y a partir de ahí:

    \( \displaystyle \int \frac{1}{(x^3-1)^2}dx = \frac{ax^2 + bx + c}{(x^3-1)} + \int\frac{ex^2 + fx + g}{(x^3-1)} dx\)

Con lo que, derivando:

    \( \displaystyle\frac{1}{(x^3-1)^2} =\frac{(x^3-1)(2ax + b)- 3x^2(ax^2 + bx + c)}{(x^3-1)^2} + \frac{ex^2 + fx + g}{(x^3-1)} \)

Y quitando denominadores:

    \( \displaystyle 1= (x^3-1)(2ax + b)-3x^2(ax^2 + bx + c)+ (x^3-1)(ex^2 + fx + g)\)

Por identificación de los coeficientes de los dos miembros de la ecuación obtenemos un sistema de ecuaciones que tiene como solución:

    \( \displaystyle a= c = e = f = 0 \;; \; b = - \frac{1}{3}\;; \;g = - \frac{2}{3}\)

Y pasando estos valores a la ecuación integral:

    \( \displaystyle\int \frac{dx}{(x^3-1)^2} =\frac{1}{3} \frac{x}{(x^3-1)} -\frac{2}{3} \int\frac{dx}{(x^3-1)} \)

Nos queda entonces resolver la integral del segundo sumando del miembro de la derecha, pero en este caso tenemos que el denominador es un polinomio con raíces simples.

    \( \displaystyle \int \frac{dx}{(x^3-1)} = \int\frac{dx}{(x^2 + x+1)(x-1)}\)

Al que podemos aplicarle el método de descomposición en fracciones simples.

    \( \displaystyle\frac{1}{(x^2 + x+1)(x-1)}= \frac{Ax + B}{(x^2 + x+1)(x-1)} + \frac{C}{(x-1)} \)

Quitando denominadores e identificando coeficientes se obtienen los valores de A, B y C. Operando resulta:

    \( \displaystyle\int \frac{dx}{(x^3-1)} = \frac{1}{3}\ln(x-1)-\frac{1}{6} \ln(x^2 + x+1)- \frac{\sqrt{3}}{3}\arctan\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right) \)

Y, de ese modo:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} \int \frac{dx}{(x^3-1)^2} =\frac{1}{3}\frac{x}{(x^3-1)} + \frac{1}{9}\ln\left(\frac{x^2 + x+1}{(x-1)^2}\right) + \\  \\ + \frac{2\sqrt{3}}{9}\arctan\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right) \end{array} \)
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tema escrito por: José Antonio Hervás