Ejercicios de cálculo integral
Resolver la siguiente integral:
\( \displaystyle \int\frac{dx}{x^2 + 12x + 32} \)
Respuesta al ejercicio 29
Transformamos el denominador del integrando:
\( \begin{array}{l} 2x^2 + 12x + 32= 2(x^2 + 6x +16)= \\ \\
= 2(x^2 + 6x + 3^2 +16 - 9) =2[(x+3)^2+ (\sqrt{7})^2] \end{array}
\)
De ese modo:
\( \displaystyle \int \frac{dx}{2x^2 + 12x + 32} = \frac{1}{2}\int
\frac{dx}{[(x+3)^2+ (\sqrt{7})^2]}\)
Y tenemos una integral de la forma:
\( \displaystyle \int \frac{dZ}{Z^2 + A^2}\)
Para resolver esta integral hacemos el cambio de variable \( Z
= A \tan \theta\), con lo cual:
\( \displaystyle \begin{array}{l} Z^2 + A^2 = A^2\tan^2 \theta
+ A^2 = A^2 (1 + \tan^2 \theta) \\ \\ dZ = A(1 + \tan^2 \theta)
\end{array}\)
Con lo cual la integral nos queda:
\( \displaystyle\int\frac{dZ}{Z^2 + A^2} = \int\frac{1}{A}d\theta
= \int\frac{1}{A}\theta + C \)
Y deshaciendo el cambio de variable:
\( \displaystyle Z = A\tan \theta\ \rightarrow \frac{Z}{A} =
\tan \theta\ \rightarrow \theta = \arctan \left(\frac{Z}{A}\right)\)
Por lo que, finalmente:
\( \displaystyle \int \frac{dx}{2x^2 + 12x + 32} = \frac{1}{2\sqrt{7}}\arctan\left(\frac{x+
3}{\sqrt{7}}\right)\)