PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de cálculo integral

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Ejercicios resueltos de Cálculo Integral

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Ejercicios de cálculo integral

Respuesta al ejercicio 29

Transformamos el denominador del integrando:

    \( \begin{array}{l} 2x^2 + 12x + 32= 2(x^2 + 6x +16)= \\  \\ = 2(x^2 + 6x + 3^2 +16 - 9) =2[(x+3)^2+ (\sqrt{7})^2] \end{array} \)

De ese modo:

    \( \displaystyle \int \frac{dx}{2x^2 + 12x + 32} = \frac{1}{2}\int \frac{dx}{[(x+3)^2+ (\sqrt{7})^2]}\)

Y tenemos una integral de la forma:

    \( \displaystyle \int \frac{dZ}{Z^2 + A^2}\)

Para resolver esta integral hacemos el cambio de variable \( Z = A \tan \theta\), con lo cual:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} Z^2 + A^2 = A^2\tan^2 \theta + A^2 = A^2 (1 + \tan^2 \theta) \\  \\ dZ = A(1 + \tan^2 \theta) \end{array}\)

Con lo cual la integral nos queda:
    \( \displaystyle\int\frac{dZ}{Z^2 + A^2} = \int\frac{1}{A}d\theta = \int\frac{1}{A}\theta + C \)

Y deshaciendo el cambio de variable:

    \( \displaystyle Z = A\tan \theta\ \rightarrow \frac{Z}{A} = \tan \theta\ \rightarrow \theta = \arctan \left(\frac{Z}{A}\right)\)

Por lo que, finalmente:

    \( \displaystyle \int \frac{dx}{2x^2 + 12x + 32} = \frac{1}{2\sqrt{7}}\arctan\left(\frac{x+ 3}{\sqrt{7}}\right)\)
PROBLEMA RESUELTOS - CÁLCULO INTEGRAL - MATEMÁTICAS
 


tema escrito por: José Antonio Hervás