PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de cálculo integral

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Ejercicios resueltos de Cálculo Integral

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Ejercicios de cálculo integral

Respuesta al ejercicio 28

Podemos intentar transformar el integrando en una expresión de la forma:

    \( \displaystyle\frac{1}{Z^2 - A^2} \)

Pues de ese modo resultaría:

    \( \displaystyle \frac{1}{Z^2 - A^2} =\frac{1}{(Z+A)(Z-A)}= \frac{1}{2A}\frac{1}{Z-A}- \frac{1}{2A}\frac{1}{Z+A}\)

Y tendríamos dos integrales inmediatas.
Hacemos:

    \( \displaystyle x^2 + 4x + 2 = x^2 + 4x + 2^2 + 2 - 4 = (x+2)^2 - (\sqrt{2})^2 \)

Con lo que la integral queda en la forma

    \( \displaystyle \begin{array}{l} \int\frac{dx}{x^2 + 4x + 2} \; ; \; \int\frac{dx}{ (x+2)^2 - (\sqrt{2})^2}= \\  \\ = \int\frac{dx}{ [(x+2) + (\sqrt{2})][(x+2) - (\sqrt{2})]} \end{array}\)

Y a partir de ahí:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} \int\frac{dx}{ (x+2)^2 - (\sqrt{2})^2} = \\  \\ = \frac{1}{2\sqrt{2}}\int \frac{dx}{(x+2) - (\sqrt{2})} - \frac{1}{2\sqrt{2}}\int \frac{dx}{(x+2) + (\sqrt{2})} \end{array}\)

Lo que nos da:

    \( \displaystyle \frac{1}{2\sqrt{2}} \left\{\ln\left[(x+2) - (\sqrt{2}) \right] - \ln\left[(x+2) + (\sqrt{2}) \right]\right\}\)

Y, finalmente:

    \( \displaystyle\int\frac{dx}{x^2 + 4x + 2} = \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left\{\frac{x+2 - \sqrt{2}}{x+2 + \sqrt{2}}\right\} + C
    \)
PROBLEMA RESUELTOS - CÁLCULO INTEGRAL - MATEMÁTICAS
 


tema escrito por: José Antonio Hervás