PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de cálculo integral

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Ejercicios resueltos de Cálculo Integral

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Ejercicios de cálculo integral

Respuesta al ejercicio 26

Consideramos la primera de las integrales:

    \( \int x \sqrt{1 + x^2}dx \)

Haciendo el cambio de variable:

    \(1 + x^2 = t^2 \)

Resulta:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} 2xdx = 2tdt \rightarrow xdx = tdt \rightarrow \\  \\ \rightarrow \int x \sqrt{1 + x^2}dx = \int ttdt = \int t^2 dt = \frac{1}{3}t^3 + C \end{array}\)

Y deshaciendo el cambio de variable:

    \( \displaystyle\int x\sqrt{1 + x^2}dx = \frac{1}{3}(1 + x^2)^{3/2} + C \)

Consideramos la segunda de las integrales:

    \( \displaystyle \int \frac{dx}{(1 + x^2)^{3/2}}
    \)
Haciendo el cambio de variable x = tg t, resulta:

    \( \displaystyle dx = \frac{dt}{\cos^2 t}\rightarrow \int \frac{dx}{(1 + x^2)^{3/2}} = \int \frac{dx}{(1 + \tan^2t)^{3/2}}\frac{dt}{\cos^2 t}\)

Pero tenemos la equivalencia:

    \( \displaystyle \tan t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{1 - \cos^2 t}{\cos t}\rightarrow \cos t = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2t}}\)

Con lo cual:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} \int \frac{dx}{(1 + \tan^2t)^{3/2}}\frac{dt}{\cos^2 t} = \int \cos^3 t \frac{dt}{\cos^2 t}= \\  \\ = \int \cos tdt = \sin t + C \end{array} \)

Y deshaciendo el cambio de variable:

    \( \displaystyle\int \frac{dx}{(1 + x^2)^{3/2}}= \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} + C \)

Donde hemos considerado:

    \( \displaystyle \sin t = \tan t \times \cos t = \tan t \times\frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 t}} = x \times \frac{1}{\sqrt{1 + x^2 }}\)
PROBLEMA RESUELTOS - CÁLCULO INTEGRAL - MATEMÁTICAS
 


tema escrito por: José Antonio Hervás