PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de cálculo integral

Ver enunciado en

Ejercicios resueltos de Cálculo Integral

Estás en : Matemáticas y Poesía > Problemas resueltos

 

Ejercicios de cálculo integral

Respuesta al ejercicio 25

Para la primera de las dos integrales dadas en el enunciado realizamos el cambio de variable:

    \( \displaystyle (ax + b) = t^2 \quad ; \quad adx = 2t dt \)

Y con ello:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} \int\sqrt{(ax+b)^3}dx =\int\sqrt{(t^2)^3}\frac{2}{3}tdt = \\  \\ = \int\frac{2}{a}t^4 dt = \frac{2}{5a}t^5 + C \end{array}\)

Y deshaciendo el cambio de variable:

    \( \displaystyle \int\sqrt{(ax+b)^3}dx = \frac{2}{5a}t^5 + C = \frac{2}{5a}\sqrt{(ax + b)^5}+ C\)

Para la segunda de las integrales realizamos el cambio de variable:

    \( \displaystyle x-2 = \frac{1}{t}\quad ; \quad dx = - \frac{dt}{t^2} \)

Y con ello:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} \int\frac{dx}{(x-2)\sqrt{x^2 - 4x + 1}} = \\  \\ =\int\frac{- dt/t^2}{\left(\frac{1}{t}\right)\sqrt{\left(\frac{1}{t} + 2\right)^2 - 4 \left(\frac{1}{t} + 2\right) + 1}} = - \int\frac{dt}{\sqrt{1 - 3t^2}} \end{array} \)

Para resolver la última integral ponemos:

    \( \sqrt{3}t = z \quad ; \quad \sqrt{3}dt = dz \)

De ese modo:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} - \int\frac{dt}{\sqrt{1 - 3t^2}}= - \frac{1}{\sqrt{3}}\int\frac{dz}{1 - z^2} = - \frac{1}{\sqrt{3}}\arcsin z + C = \\  \\ =\frac{1}{\sqrt{3}}\arcsin \sqrt{3}t + C \end{array} \)


Y finalmente:

    \( \displaystyle \int\frac{dx}{(x-2)\sqrt{x^2 - 4x + 1}} = - \frac{1}{\sqrt{3}}\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{x-2}\right)+ C\)
PROBLEMA RESUELTOS - CÁLCULO INTEGRAL - MATEMÁTICAS
 


tema escrito por: José Antonio Hervás