Ejercicios de cálculo integral

Calcular por el método de integración por partes las siguientes integrales:

\( \displaystyle \int \frac{1}{x}\ln xdx \quad ; \quad \int xa^{kx}dx\)

Respuesta al ejercicio 24

Para la primera de las integrales hacemos:

\( \displaystyle u = \ln x \quad ; \quad \frac{dx}{x}= dv\Rightarrow v= \ln x \quad ; \quad du = \frac{dx}{x} \)

Aplicando el método de integración por partes resulta:

\( \displaystyle\begin{array}{l} \int u dv = uv - \int vdu \Rightarrow \int \frac{1}{x}\ln x dx = \\  \\ = (\ln x)^2 - \int \frac{1}{x}\ln x dx \end{array} \)

Y agrupando términos:

\( \displaystyle 2 \int \frac{1}{x}\ln x dx = (\ln x)^2\Rightarrow \int \frac{1}{x}\ln x dx = \frac{(\ln x)^2}{2} + C
\)

Para la segunda de las integrales tomamos:

\( \displaystyle u = x \quad ; \quad a^{kx}dx = dv \Rightarrow v = \frac{a^{kx}}{k \ln a}\quad ; \quad du = dx\)

Y a partir de ahí:

\( \displaystyle \begin{array}{l} \int x a^{kx}dx =\frac{xa^{kx}}{k\ln a}- \frac{1}{k\ln a}\int a^{kx}dx = \\  \\ = \frac{xa^{kx}}{k\ln a}-\frac{a^{kx}}{(k\ln a)^2} + C \end{array}\)