PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de cálculo integral

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Ejercicios resueltos de Cálculo Integral

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Ejercicios de cálculo integral

Respuesta al ejercicio 23

Según la fórmula de Euler, se tiene:

    \( e^{ix} = \cos x + i\sin x \)

Y, por otro lado,

    \( \displaystyle \begin{array}{l} I_2 + I_1 = \int e^{ax}\cos bx dx + i \int e^{ax}\sin bx dx = \\  \\ = \int e^{ax}(\cos bx + i\sin bx)dx =\int e^{ax}e^{ibx}dx = \\  \\ \int e^{(a + ib)x}dx = \frac{1}{a + ib}e^{(a + ib)x} =\frac{1}{a + ib}e^{ax}e^{ibx} \end{array} \)

Pero teniendo en cuenta de nuevo la fórmula de Euler:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} I_2 + i I_1 = \frac{1}{a + ib} e^{ax}( \cos bx + i\sin bx) = \\  \\ = \frac{a - ib}{a^2 + b^2} e^{ax}( \cos bx + i\sin bx) \end{array}\)

Y separando las partes real e imaginaria:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} I_2 + I_1 =\frac{ae^{ax}}{a^2 + b^2}\cos bx +\frac{be^{ax}}{a^2 + b^2}\sin bx + \\  \\ + \frac{ae^{ax}i}{a^2 + b^2}\sin bx +\frac{be^{ax}i}{a^2 + b^2}\cos bx \end{array} \)

Con lo que, finalmente obtenemos:

    \( \displaystyle I_1 = \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2}(a\sin bx - b\cos bx)\) , parte Imag

    \( \displaystyle I_2 = \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2}(a\cos bx - b\sin bx)\) , parte Real
PROBLEMA RESUELTOS - CÁLCULO INTEGRAL - MATEMÁTICAS
 


tema escrito por: José Antonio Hervás