PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de cálculo integral

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Ejercicios resueltos de Cálculo Integral

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Ejercicios de cálculo integral

Respuesta al ejercicio 22

Consideramos la primera de las dos integrales. Para poder resolverla hacemos el cambio de variable:

    \( \displaystyle e^{ax} = u \Rightarrow a e^{ax}dx = du\)

Con lo cual:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} I_1 = \int e^{ax}\sin bx dx = \frac{1}{a}\int a e^{ax}\sin bx dx = \\  \\ \frac{1}{a}\int d( e^{ax})\sin bx dx = \frac{1}{a}e^{ax}\sin bx - \frac{b}{a}\int e^{ax}\cos bx dx\\  \\  \end{array}\)

Pero la última de las integrales es I2. Integrando de nuevo por partes, tenemos:

    \( \displaystyle \frac{b}{a}\int e^{ax}\cos bx dx = \frac{b^2}{a}e^{ax}\cos bx + \frac{b^2}{a^2}\int e^{ax}\cos bx dx \)

Con lo que podemos poner:

    \( \displaystyle I_1 = \frac{1}{a}e^{ax}\sin bx - \frac{b}{a^2}e^{ax}\cos bx - \frac{b^2}{a^2}\int e^{ax}\sin bx dx \)

Pero esta última integral es de nuevo I1, con lo que podemos poner:

    \( \displaystyle I_1 + \frac{b^2}{a^2}I_1 = \frac{1}{a}e^{ax}\sin bx - \frac{b}{a^2}e^{ax}\cos bx + C_1 \)

Que, por último, podemos dejar en la forma:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} I_1 = \frac{a}{a^2 + b^2}e^{ax}\sin bx - \frac{b}{a^2 + b^2}e^{ax}\cos bx + C \\  \\ \textrm{con } C = \frac{a^2}{a^2 + b^2}C_1 \end{array}\)

Para calcular I2 tenemos en cuenta:

    \( \displaystyle d\left(\frac{1}{a}e^{ax}\cos bx\right) = e^{ax}\cos bx dx - \frac{b}{a}e^{ax}\sin bx dx \)

Integrando y despejando I2 nos queda:

    \( \displaystyle I_2 = \frac{1}{a}e^{ax}\cos bx + \frac{b}{a}\int e^{ax}\sin bx dx \)

La última integral es I1 que, como hemos visto, vale:

    \( \displaystyle I_1 = \frac{1}{a}e^{ax}\sin bx - \frac{b}{a}I_2 \)

Sustituyendo nos queda:

    \( \displaystyle I_2 = \frac{1}{a}e^{ax}\cos bx + \frac{b}{a^2}e^{ax}\sin bx - \frac{b^2}{a^2}I_2\)

Y finalmente:

    \( \displaystyle I_2 = \frac{a}{a^2 + b^2}e^{ax}\cos bx + \frac{b}{a^2+ b^2}e^{ax}\sin bx + C_2
    \)
PROBLEMA RESUELTOS - CÁLCULO INTEGRAL - MATEMÁTICAS
 


tema escrito por: José Antonio Hervás