PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de cálculo integral

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Ejercicios resueltos de Cálculo Integral

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Ejercicios de cálculo integral

Respuesta al ejercicio 18

Transformamos la integral como sigue:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} \int\frac{dx}{\sin^3 x} = \int\frac{\sin^2 xdx + \cos^2 xdx}{\sin^3 x} = \\  \\ = \int\frac{\sin^2 xdx }{\sin^3 x} + \int\frac{\cos^2 xdx}{\sin^3 x} \end{array}\)

Por otra parte, el cambio de variable indicado nos da:

    \( \displaystyle \tan\frac{x}{2} = \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)} = t \Rightarrow t = \frac{\frac{1}{2}\left(\sqrt{1+\sin x}- \sqrt{1- \sin x}\right)}{\frac{1}{2}\left(\sqrt{1+\sin x}+ \sqrt{1- \sin x}\right)}\)

De donde por manipulaciones algebraicas elementales obtenemos:

    \( \displaystyle \sin x = \frac{2t}{1+t^2}\Rightarrow \cos x dx = d\left(\frac{2t}{1+t^2}\right)= \frac{2(1-t^2)}{(1 + t^2)^2} dt\)

Pero tenemos:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} 1 - t^2 =(1+ t^2)\sqrt{1 - \sin^2 x}\Rightarrow 1 - t^2 = (1+ t^2)\cos x \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow \cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \end{array} \)

Con lo que sustituyendo en la expresión anterior:

    \( \displaystyle \frac{1 - t^2}{1 + t^2}dx = \frac{2(1-t^2)}{(1 + t^2)^2}dt \Rightarrow dx =\frac{2dt}{1 + t^2}\)

Todo lo anterior nos permite escribir para la primera de las integrales:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} \int \frac{dx}{\sin x} = \int \frac{2dt/(1+t^2)}{2t/(1 + t^2)} = \\  \\ = \int\frac{dt}{t} = \ln t + C = \ln\left(\tan \frac{x}{2}\right) \end{array} \)

Para resolver la segunda integral, considerando los resultados anteriores, tenemos:

    \( \displaystyle \cos x = \frac{1-t^2}{1 +t^2} \quad ; \quad \sin x = \frac{2t}{1+ t^2}\quad ; \quad dx = \frac{2dt}{1 +t^2}\)

Y sustituyendo en la integral:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} \int\frac{\cos^2 x dx}{\sin^3 x} = \int\left(\frac{1-t^2}{1 + t^2}\right)^2\left(\frac{1+t^2}{2t}\right)^3\frac{2dt}{1+ t^2} = \\  \\ = \int\frac{dt}{4t^3}+ \int tdt - \int\frac{dt}{4t} \end{array}\)

Y finalmente:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} \int\frac{\cos^2 x dx}{\sin^3 x} =\frac{t^4 -1}{8t^2}-\frac{1}{4}\ln t + C = \\  \\ = \frac{\tan^4(x/2)-1}{8\tan^2(x/2)} -\frac{1}{4}\ln\left(\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right) + C \end{array} \)

Con lo que la integral inicial resultará ser:

    \( \displaystyle \int\frac{dx}{\sin^3 x} = \frac{\tan(x/2)-1}{8\tan^2(x/2)} + \frac{3}{4}\ln\left(\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right) + C \)
PROBLEMA RESUELTOS - CÁLCULO INTEGRAL - MATEMÁTICAS
 


tema escrito por: José Antonio Hervás