Ejercicios de cálculo integral

Calcular la integral:

\( \displaystyle \int\frac{dx}{(x-1)^2[(x-2)^2 + 4]} \)

Respuesta al ejercicio 17

Desarrollando el integrando en fracciones simples, tenemos:

\( \displaystyle \begin{array}{l} \frac{1}{(x-1)^2[(x-2)^2 + 4]} = \frac{A}{(x-1)^2} + \frac{B}{x-1}+ \\  \\ + \frac{Cx + D}{[(x-2)^2 + 4]} \end{array} \)

Quitando denominadores, agrupando términos e identificando coeficientes obtenemos los siguientes valores para los coeficientes: A = ¼ ; B = C = 0 ; D = - ¼ . La integral original queda así en la forma:

\( \displaystyle \begin{array}{l} \int \frac{dx}{(x-1)^2[(x-2)^2 + 4]} = \frac{1}{4}\int \frac{dx}{(x-1)^2} - \\  \\ - \frac{1}{4} \int \frac{dx}{[(x-2)^2 + 4]} \end{array}\)

La primera de estas integrales es inmediata, ya que poniendo (x-1) = t, resulta dx = dt y a partir de ahí

\( \displaystyle\frac{1}{4}\int \frac{dx}{(x-1)^2} = \frac{1}{4}\int \frac{dt}{t^2} = - \frac{1}{4t} = \frac{1}{4(x-1)} \)

La segunda integral se resuelve como sigue:

\( \displaystyle \begin{array}{l} \frac{1}{4} \int \frac{dx}{[(x-2)^2 + 4]} = \frac{1}{4}\int\frac{dt}{t^2 + 4} = \frac{1}{16}\int \frac{dt}{(t/2)^2 + 1} = \\  \\ = \frac{1}{8}\int \frac{d(t/2)}{(t/2)^2 + 1} =\frac{1}{8} \arctan (t/2)= \frac{1}{8} \arctan \left(\frac{x-1}{2}\right) \end{array} \)

Por todo lo visto, la integral buscada es:

\( \displaystyle\int \frac{1}{(x-1)^2[(x-2)^2 + 4]} =\frac{1}{4(x-1)} - \frac{1}{8} \arctan \left(\frac{x-1}{2}\right) \)