Ejercicios de cálculo integral

Calcular la siguiente integral:

\( \displaystyle \int\frac{(2x-3)dx}{(x-1)^3(x+2)} \)

Respuesta al ejercicio 16

Calculamos la integral dada en el enunciado por el método de Hermite:

\( \displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{(2x-3)}{(x-1)^3(x+2)} = \left(\frac{P_1(x)}{Q_1(x)}\right)^\prime + \frac{P_2(x)}{Q_2(x)} \)

Se tiene entonces:

\( \displaystyle \begin{array}{l} Q'(x) = 3(x+2) + (x-1)^3 \Rightarrow \\ \\ \qquad \Rightarrow Q_1(x)= m.c.d. (Q,Q')= (x-1)^2 \\  \\ Q_2 = \frac{Q(x)}{Q_1(x)} = (x-1)(x+2) \end{array} \)

Con lo que podemos poner:

\( \displaystyle \frac{(2x-3)}{(x-1)^3(x+2)}= \frac{ax+b}{(x-1)^2} + \frac{cx + d}{(x-1)(x+2)}\)

Y quitando denominadores:

2x – 3 = a(x+2)(x-1) – 2(a•x + b)(x + 2) + (c•x + d)(x – 1)²

Agrupando términos e identificando coeficientes, nos queda finalmente:

a = - 7/9 ; b = 17/18 ; c = 0 ; d = - 7/9

Con lo que podemos poner:

\( \displaystyle\int \frac{(2x-3)}{(x-1)^3(x+2)}dx =\frac{17 - 4x}{18(x-1)^2}- \frac{7}{9}\int \frac{dx}{(x-1)(x+2)} \)

Y para obtener la última integral descomponemos el integrando en fracciones simples:

\( \displaystyle \frac{-7/9}{(x-1)(x+2)} =\frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2} \)

De donde obtenemos: A = - 7/27 ; B = 7/27 y a partir de ahí:

\( \displaystyle \begin{array}{l} - \frac{7}{9}\int \frac{dx}{(x-1)(x+2)} - \frac{7}{27}\int \frac{dx}{x-1} + \\  \\ + \frac{7}{27}\int \frac{dx}{x+2} = \frac{7}{27}\ln\frac{x+2}{x-1} \end{array} \)

Con lo que la integral principal queda en la forma:

\( \displaystyle\int \frac{(2x-3)}{(x-1)^3(x+2)}dx =\frac{17 - 4x}{18(x-1)^2}+\frac{7}{27}\ln\frac{x+2}{x-1} \)