PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de cálculo integral

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Ejercicios resueltos de Cálculo Integral

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Ejercicios de cálculo integral

Respuesta al ejercicio 13

Haciendo el cambio de variable x = sen t resulta dx = cos t.dt y tenemos para la integral dada:

    \( \displaystyle \int\sqrt{1-x^2}dx = \int \sqrt{1- \sin ^2t}\cos t dt = \int \cos^2 t dt \)

Por otro lado, según una conocida fórmula trigonométrica tenemos:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} \cos 2t = \cos^2 t - \sin^2 t = \cos^2 t -(1 \cos^2 t) \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow \cos^2 t = \frac{\cos 2t +1}{2} \end{array} \)

Con lo que la integral queda en la forma:

    \( \displaystyle\int \cos^2 t dt = \int\frac{\cos 2t +1}{2}dt = \int\frac{\cos 2t}{2}dt + \int\frac{dt}{2} \)

La segunda de las anteriores integrales es inmediata y la primera se resuelve fácilmente haciendo el cambio de variable u = 2t, con lo cual 2•dt = du y entonces:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} \int\frac{\cos 2t}{2}dt = \frac{1}{4}\int\cos 2t 2 dt = \frac{1}{4}\int \cos u du = \\  \\ = \frac{1}{4}\sin u = \frac{1}{4}\sin 2t \end{array}\)

La expresión general queda, por tanto, en la forma:

    \( \displaystyle \frac{1}{4}\sin 2t + \frac{1}{2}t + C \)

Para expresar el resultado en términos de la variable x tenemos en cuenta otra conocida fórmula trigonométrica según la cual podemos hacer lo siguiente:

    \( \displaystyle \sin 2t = 2\sin t \cos t = 2 \sin t \sqrt{1 - \sin^2 t} = 2x \sqrt{1 - x^2}\)

Y la expresión general nos quedará:

    \( \displaystyle \int \sqrt{1 - x^2}dx = \frac{1}{2} x \sqrt{1 - x^2} + \frac{1}{2}\arcsin x + C\)
PROBLEMA RESUELTOS - CÁLCULO INTEGRAL - MATEMÁTICAS
 


tema escrito por: José Antonio Hervás