Ejercicios de cálculo integral

Respuesta al ejercicio 12

Para la primera de las tres integrales del enunciado cambiamos de variable y de límites de integración:

\( \displaystyle u = \ln x \Rightarrow du = \frac{dx}{x}\)

De ese modo:

\( \displaystyle \int_a^b \frac{dx}{x\ln x} = \int_{\ln a}^{\ln b}\frac{du}{u} = \left. \ln u \right]_{\ln a}^{\ln b} = \ln \left(\frac{\ln b}{\ln a}\right)\)

Para la segunda integral hacemos el cambio de variable 2x = u, con lo cual du = 2dx y tenemos:

\( \displaystyle \begin{array}{l} \int \cos 2x dx = \frac{1}{2}\int \cos 2x 2dx = \frac{1}{2}\int \cos u du = \\  \\ = \frac{1}{2}\sin u + C = \frac{1}{2}\sin 2x + C \end{array} \)

Finalmente, para la tercera integral tenemos:

\( \displaystyle \begin{array}{l} \int\cos^3 x \sin^2 x dx = \int\cos x \cos^2 x \sin^2 x dx = \\  \\ = \int\cos x (1-\sin^2 x) \sin^2 x dx \end{array} \)

Y si hacemos el cambio de variable sin x = u resulta du = cos x y a partir de ahí:

\( \displaystyle \int\cos x (1-\sin^2 x) \sin^2 x dx\int (1-u^2)u^2 du = \)

\( \displaystyle =\int u^2 du - \int u^4 du = \frac{u^3}{3}-\frac{u^5}{5} + C = \frac{\sin^3}{3}-\frac{\sin^5}{5} + C \)