Ejercicios de cálculo integral
Calcular las siguientes integrales:
\( \displaystyle \int \frac{dx}{x·\ln x}\quad ; \quad
\int \cos 2x dx \quad ; \quad \int\cos^3x \sin^2x dx\)
Respuesta al ejercicio 12
Para la primera de las tres integrales del enunciado cambiamos
de variable y de límites de integración:
\( \displaystyle u = \ln x \Rightarrow du = \frac{dx}{x}\)
De ese modo:
\( \displaystyle \int_a^b \frac{dx}{x\ln x} = \int_{\ln a}^{\ln
b}\frac{du}{u} = \left. \ln u \right]_{\ln a}^{\ln b} = \ln
\left(\frac{\ln b}{\ln a}\right)\)
Para la segunda integral hacemos el cambio de variable 2x = u,
con lo cual du = 2dx y tenemos:
\( \displaystyle \begin{array}{l} \int \cos 2x dx = \frac{1}{2}\int
\cos 2x 2dx = \frac{1}{2}\int \cos u du = \\ \\ = \frac{1}{2}\sin
u + C = \frac{1}{2}\sin 2x + C \end{array} \)
Finalmente, para la tercera integral tenemos:
\( \displaystyle \begin{array}{l} \int\cos^3 x \sin^2 x dx =
\int\cos x \cos^2 x \sin^2 x dx = \\ \\ = \int\cos x (1-\sin^2
x) \sin^2 x dx \end{array} \)
Y si hacemos el cambio de variable sin x = u resulta du = cos
x y a partir de ahí:
\( \displaystyle \int\cos x (1-\sin^2 x) \sin^2 x dx\int (1-u^2)u^2
du = \)
\( \displaystyle =\int u^2 du - \int u^4 du = \frac{u^3}{3}-\frac{u^5}{5}
+ C = \frac{\sin^3}{3}-\frac{\sin^5}{5} + C \)