PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de cálculo integral

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Ejercicios resueltos de Cálculo Integral

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Ejercicios de cálculo integral

Respuesta al ejercicio 5
Para resolver la integral dada en el enunciado, la descomponemos en otras dos mas sencillas :

    \( \displaystyle \int\frac{x-\sqrt{\arctan 2x}}{1+4x^2}dx =\int\frac{xdx}{1+4x^2}+ \int\frac{\sqrt{\arctan 2x}}{1+4x^2}dx
    \)
que resolvemos por separado.
Para la primera tenemos :

    \( \displaystyle\int\frac{xdx}{1+4x^2}=\frac{1}{8}\int\frac{8xdx}{1+4x^2} = \frac{1}{8}\ln(1+4x^2)+ C \)

Para la segunda hacemos el cambio:

    \( \displaystyle \arctan 2x = t \Rightarrow \frac{2dx}{1+4x^2} = dt\)

y a partir de ahí tenemos :

    \( \displaystyle \begin{array}{l} \int\frac{\sqrt{\arctan 2x}}{1 +4x^2}dx = \frac{1}{2} \int\frac{2\sqrt{\arctan 2x}}{1 +4x^2}dx = \\  \\ =\frac{1}{2}t^{1/2}dt = \frac{1}{2}\frac{t^{3/2}}{3/2} + C = \frac{1}{3}t^{3/2} + C \end{array}\)

con lo que deshaciendo el cambio :

    \( \displaystyle \frac{1}{3}t^{3/2} + C + \frac{1}{3}(\arctan 2x)^{3/2} + C \)

y de ese modo el valor de la integral inicial será

    \( \displaystyle \begin{array}{l} \int\frac{x-\sqrt{\arctan 2x}}{1 + 4x^2}dx = \\  \\ =\frac{1}{8}\ln(1 + 4x^2)- \frac{1}{3}(\arctan 2x)^{3/2} + C \end{array} \)
PROBLEMA RESUELTOS - CÁLCULO INTEGRAL - MATEMÁTICAS
 


tema escrito por: José Antonio Hervás