PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
geometría analitica ecuaciones de rectas y planos

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Ejercicios resueltos de geometría

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Ejercicios de geometría

Respuesta al ejercicio 24

Despejamos las variables x e y en función de la variable z. De la segunda de las ecuaciones tenemos:

    \( y-z = 0 \rightarrow y = z\)
Y sustituyendo el valor obtenido en la primera ecuación

    \( \displaystyle 3x-2y+5z+1 \rightarrow 3x-2z+5z+1 = 3x + 3z + 1 = 0 \; ; \; x = \frac{-3z-1}{3} \)
Recordando ahora que la ecuación vectorial de una recta se expresa en forma:

    \( \vec{v}- \vec{v}_1 = \lambda (\vec{v}_2- \vec{v}_1)\)
Donde \(\vec{v}\) es un vector referido a un punto genérico de la recta y \(\vec{v}_1, \vec{v}_2\) dos vectores referidos a sendos puntos conocidos.

Podemos tomar dos puntos de la ecuación anterior:

    \( \displaystyle x = \frac{-3z-1}{3} \; ; \; y=z \; ; \; z = 1 \rightarrow \left \{ \begin{matrix} V_1 = \left(-\frac{4}{3},1,1\right) \\ \\ V_2 = \left(-\frac{1}{3},0,0\right) \end{matrix}\right.\)
Y escribir la ecuación vectorial en la forma:

    \(\displaystyle (x,y,z) - \left(-\frac{4}{3}, 1, 1\right) = \lambda\left[\left(-\frac{1}{3}, 0, 0\right)- \left(-\frac{4}{3}, 1, 1\right)\right] \)
La ecuaciones paramétricas podemos obtenerlas con facilidad a partir de la ecuación vectorial. Operando resulta:

    \( \displaystyle\left(x+\frac{4}{3}, y-1 , z-1\right) = \lambda(1,-1,-1) \)
E identificando coeficientes:

    \( \displaystyle x = - \frac{4}{3} + \lambda \; ; \; y = 1 -\lambda \; ; \; z = 1 -\lambda\)
Que son las ecuaciones paramétricas.

Despejando de cada una de las anteriores ecuaciones el valor del parámetro λ nos queda:

    \( \displaystyle x + \frac{4}{3} = \lambda \; ; \; y - 1= -\lambda \; ; \; z - 1= -\lambda\)
Y siendo (1, -1, -1) el vector director de la recta, podemos escribir la ecuación de la recta en forma continua:

    \( \displaystyle \frac{x + \frac{4}{3}}{1} = \frac{y-1}{-1}= \frac{z-1}{-1}\)
PROBLEMAS RESUELTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL
 


tema escrito por: José Antonio Hervás