Ejercicios de Física Nuclear resueltos
Dado un cilindro de volumen V calcular:
a) la razón radio-altura que hace mínima la razón
superficie-volumen.
b) la que hace mínimo en laplaciano geométrico.
Respuesta al ejercicio 76
Sabemos que el área total y el volumen del cilindro viene
dado por:
\( S = 2\pi R·H + 2\pi R^2 \quad ;\quad V = \pi R^2H
\)
Para obtener la razón R/H carga mínimo al cociente
S/V, calculamos en mi mínimo de S/V con la condición
V = Cte. Aplicando el método de los multiplicadores de
Lagrange tenemos:
\( \displaystyle F = \frac{S}{V} + \lambda(\pi·R^2H -
V) = \frac{2}{H} + \frac{2}{R} + \lambda(\pi·R^2H - V)
\)
Y operando:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
\frac{\partial F}{\partial R} =- \frac{2}{R^2} + 2\lambda\pi
R·H = 0 \\
\\
\frac{\partial F}{\partial H} =- \frac{2}{H^2} + 2\lambda\pi
R^2 = 0
\end{array} \)
Despejando \( \lambda \) estas dos ecuaciones resulta:
\( \displaystyle \lambda = \frac{1}{\pi R^3H} = \frac{2}{\pi
H^2R^2} \Rightarrow \frac{H}{R} = 2 \)
Para comprobar que esté valor minimiza el cociente S/V
calculamos \( d^2F \):
\( \displaystyle \begin{array}{l}
d^2F = \frac{\partial^2 F}{\partial R^2}dR^2 + \frac{\partial^2
F}{\partial H^2}dH^2 + \frac{\partial^2 F}{\partial R \partial
H}dR·dH = \\
\\
= \left(\frac{4}{R^3}+ 2\lambda\pi H\right)dR^2 + \frac{4}{H^3}dH^2
+ 4\lambda\pi R·dR·dH
\end{array} \)
Y de la condición de ligadura obtenemos:
\( 2\pi R·H·dR + \pi R^2dH = 0 \Rightarrow dH
= - 4·dR \)
Con lo que finalmente, haciendo operaciones:
\( \displaystyle \frac{d^2F}{dR^2} = \frac{2\pi}{V} > 0 \Rightarrow
\min \)
La relación R-H qué hace mínimo el laplaciano
se obtiene calculando el mínimo de \( B^2 \) con la condición
V = Cte. Aplicando el método anterior, tenemos:
\( \displaystyle F = B^2 + \lambda(\pi R^2H - V) = \left(\frac{\pi}{H}\right)^2
+ \left(\frac{2,405}{R}\right)^2 + \lambda(\pi R^2H - V) \)
Y derivando:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
\frac{\partial F}{\partial R} =- \frac{2,405^2}{R^3} + 2\lambda\pi
R·H = 0 \\
\\
\frac{\partial F}{\partial H} =- \frac{2\pi^2}{H^3} + 2\lambda\pi
R^2 = 0
\end{array} \)
Con lo que resultará:
\( \displaystyle \lambda = \frac{2,405^2}{\pi R^2H} = \frac{2\pi}{H^3R^2}
\Rightarrow \frac{H}{R} = \frac{\sqrt{2}\pi}{2,405}
\)
Obteniendo \(d^2F\) se comprueba que esté valor minimiza
el laplaciano.