FÍSICA NUCLEAR

Se estudia una radiación compuesta por dos radiaciones de energías \(E_1 \textrm{y} E_2\) de intensidades iguales. Se observa que para 55 cm de absorbente la intensidad de la radiación menos penetrante es el 10 % de la mas penetrante. Si ahora se interponen 7,1 cm más, la intensidad residual total disminuye a la mitad de su valor. Hallar los coeficientes de absorción lineales o secciones eficaces macroscópicas para las energías \(E_1 \textrm{y} E_2\).

Respuesta del ejercicio - 54

Consideremos un haz colimado monoenergético de radiación \(\gamma\) ,con una intensidad inicial \(I_o\). Tras atravesar un cierto espesor x de un absorbente dado, la intensidad residual, I, del haz vendrá dada por:

\(I = I_o·e^{\mu x} \)

donde \(\mu\) es el coeficiente de absorción lineal total en el que se incluyen diversos procesos entre los que se tienen como más importantes el efecto fotoeléctrico, el efecto Compton y la producción de pares.
Para el problema que estamos tratando, consideramos que \(I_1 \textrm{e} I_2\) son las intensidades residuales de cada una de las radiaciones después de atravesar los primeros 55 cm de material. Tenemos según eso:

\(I_1 = I_o·e^{\mu_1 x}\quad ; \quad I_2 = I_o·e^{\mu_2 x}\)

y teniendo en cuenta que es el 10 % de \(I_1\):

\(\displaystyle \frac{I_2}{I_1} = 0,1 = \exp \left[(\mu_1-\mu_2)x\right]\quad(1) \)

Si interponemos 7,1 cm más tendremos:

\(I'_1 = I_o·e^{\mu_1 d}\quad ; \quad I'_2 = I_o·e^{\mu_2 d}\)

y según el enunciado se cumple:

\(\displaystyle I'_1 + I'_2 = \frac{1}{2}·I \)

donde tenemos:

\(\displaystyle I =I_1 + I_2 = I_1 + \frac{1}{10}·I_1 = \frac{11}{10}·I_1 \)

por lo que podemos escribir:

\(\displaystyle I'_1 + I'_2 = \frac{1}{2}·I = \frac{11}{20}·I_1\)

y a partir de ahí:

\(\displaystyle \begin{array}{l} \frac{11}{20}I_1 = I_1e^{-\mu_1d} + I_2e^{-\mu_2d} = I_1e^{-\mu_1d} + \frac{1}{10}I_1e^{-\mu_2d} \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow 11 = 20·e^{-\mu_1d} + 2·e^{-\mu_2d}\quad (2) \end{array} \)

De ese modo tenemos un sistema de dos ecuaciones, (1) y (2), con dos incógnitas. De la (1) obtenemos :

\(\displaystyle (\mu_1 - \mu_2)x = \ln 0,1 \Rightarrow \mu_1 - \mu_2 = \frac{\ln 0,1}{55}= -0,0418\: cm^{-1} \)

Con ello resulta para la segunda:

\(\displaystyle \begin{array}{l} 20·\exp\left[-(\mu_2- 0,0418)d\right] + 2·\exp (-\mu_2d) = 11 \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow \exp (-\mu_2d)\left[20·\exp(0,0418d)+ 2\right] = 11 \end{array} \)

y finalmente:

\(\displaystyle \begin{array}{l} \mu_2 = - \frac{1}{d}·\ln\frac{11}{20·\exp(0.0418d + 2)} = 0,136\; cm^{-1} \\  \\ \mu_1 = \mu_2 - 0,0418 = 0,0942\; cm^{-1} \end{array} \)

con d = 7,1 cm