Seanlas constantes de desintegración de tres substancias A, B y C de una cierta serie radiactiva. El periodo de A es muy grande comparado con los de B y C. Demostrar que al cabo de un cierto tiempo t, tras la separación de B y siendo este tiempo pequeño en comparación con los periodos de B y C, la cantidad C formada a partir de A viene dada por la expresión :



donde C₀ es la cantidad de equilibrio final de C.

Respuesta 5

Las velocidades netas de transformación de cada cuerpo vienen dadas por :



Integrando la primera ecuación, tenemos :



Sustituyendo este resultado en la segunda :



Si multiplicamos los dos miembros de esta ecuación por el factor integrante, el primero de ellos se convierte en una diferencial exacta :



e integrando resulta :



Llevando este resultado a la tercera ecuación y procediendo de modo análogo se tiene :



e integrando después de considerar el factor integrante para la nueva ecuación :



Para obtener las constantes de integración A, B y C, hacemos t = 0, con lo cual :

N_a = N = A ; N_b = N_c = 0 (ya que la sustancia A no se ha desintegrado)

De la segunda ecuación tenemos :



y de la tercera :



Recordando ahora que podemos simplificar y escribir :



Con todo ello las ecuaciones anteriores nos quedarán en la forma :



Al cabo de mucho tiempo ( t tendiendo a infinito) los términos con se anulan mientras que el primero varía muy poco. De ese modo, tendremos :



Por otra parte, los exponenciales pueden ponerse en forma de un desarrollo en serie



por lo que sustituyendo :



como queríamos demostrar.

Ejercicios resueltos - problemas resueltos - cuestiones resueltas
primer ejemplo	ejemplo anterior	ejemplo siguiente	último ejemplo	la tienda