FÍSICA NUCLEAR
Sean \(\lambda_a , \lambda_b , \lambda_c\)
las constantes de desintegración de tres substancias A, B y C
de una cierta serie radiactiva. El periodo de A es muy grande
comparado con los de B y C. Demostrar que al cabo de un cierto
tiempo t, tras la separación de B y siendo este tiempo pequeño
en comparación con los periodos de B y C, la cantidad C formada
a partir de A viene dada por la expresión :
\( \displaystyle C = \frac{1}{2}\lambda_b\lambda_c·C_ot^2 \)
donde C0 es la cantidad de equilibrio final de C.
Respuesta del ejercicio - 5
Las velocidades netas de transformación de cada cuerpo vienen
dadas por :
\( \displaystyle \begin{array}{l}
\frac{dN_a}{dt}= -\lambda_a·N_a \; ; \; \frac{dN_b}{dt}=
\lambda_a·N_a -\lambda_b·N_b
\\
\\
\frac{dN_c}{dt}= \lambda_b·N_b -\lambda_c·N_c
\end{array}\)
Integrando la primera ecuación, tenemos :
\( N_a = A·e^{-\lambda_at} \)
Sustituyendo este resultado en la segunda :
\( \displaystyle \frac{dN_b}{dt} + \lambda_b·N_b = \lambda_a·A·e^{-\lambda_ot}
\)
Si multiplicamos los dos miembros de esta ecuación por el factor
integrante, el primero de ellos se convierte en una diferencial
exacta :
\( \displaystyle \begin{array}{l} \left(\frac{dN_b}{dt} + \lambda_b·N_b\right)e^{-\lambda_bt}
= \lambda_a·A·e^{-\lambda_ot} \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow
d\left(N_b·e^{\lambda_bt}\right) = \lambda_a·A·e^{(\lambda_b
- \lambda_a)t}·dt \end{array} \)
e integrando resulta :
\( \displaystyle N_b = B·e^{-\lambda_bt} + \frac{\lambda_a·A}{\lambda_b
- \lambda_a}e^{-\lambda_at} \)
Llevando este resultado a la tercera ecuación y procediendo de
modo análogo se tiene :
\( \displaystyle \frac{dN_c}{dt} + \lambda_c·N_c = \lambda_b·B·e^{-\lambda_bt}
+\frac{\lambda_a·\lambda_b·A}{\lambda_b -\lambda_a}·e^{\lambda_at}
\)
e integrando después de considerar el factor integrante para la
nueva ecuación :
\( \displaystyle N_c - Ce^{-\lambda_ct} + \frac{\lambda_b·B}{\lambda_c
- \lambda_b}e^{-\lambda_ct} + \frac{\lambda_a·\lambda_b·A}{(\lambda_b
- \lambda_c)(\lambda_c - \lambda_a)}e^{-\lambda_at} \)
Para obtener las constantes de integración A, B y C, hacemos t
= 0, con lo cual :
Na = N = A ; Nb = Nc
= 0 (ya que la sustancia A no se ha desintegrado)
De la segunda ecuación tenemos :
\( \displaystyle en \; t = 0 \Rightarrow N_b = 0 = B + \frac{\lambda_a·N}{\lambda_b
- \lambda_a} \Rightarrow B = - \frac{\lambda_a}{\lambda_b -
\lambda_a} \)
y de la tercera :
\( \displaystyle N_c = 0 ; C = \frac{\lambda_a\lambda_b·N}{(\lambda_c
- \lambda_b)(\lambda_b - \lambda_a)} - \frac{\lambda_a\lambda_b·N}{(\lambda_b
- \lambda_a)(\lambda_c - \lambda_a)} \)
Recordando ahora que \(\lambda_a << \lambda_b , \lambda_c\) podemos
simplificar y escribir :
\( \displaystyle \begin{array}{l}
\frac{\lambda_a}{\lambda_b - \lambda_a}= \frac{(\lambda_a/\lambda_b)}{1-
(\lambda_a/\lambda_b)} = \frac{\lambda_a}{\lambda_b}
\\
\\
\frac{\lambda_a}{(\lambda_c - \lambda_a)} = \frac{\lambda_a}{\lambda_c}\;
; \;\lambda_c - \lambda_a = \lambda_c \end{array}\)
Con todo ello las ecuaciones anteriores nos quedarán en la forma
:
\( \displaystyle N_a = N·e^{-\lambda_a t}\; ; \; N_b = \frac{\lambda_a}{\lambda_b}·N\left[e^{e^{-\lambda_at
- e^{-\lambda_b t}}}\right] \)
\( \displaystyle N_c = \frac{\lambda_a}{\lambda_c}·N\left[e^{-\lambda_a
t } - \frac{\lambda_c}{\lambda_c - \lambda_b}e^{-\lambda_bt}
+ - \frac{\lambda_b}{\lambda_c - \lambda_b}e^{-\lambda_ct}\right]
\)
Al cabo de mucho tiempo ( t tendiendo a infinito) los términos
con \(e^{-\lambda_bt}\; y \;e^{-\lambda_ct} \) se anulan mientras
que el primero varía muy poco. De ese modo, tendremos :
\( \displaystyle C_o = \lim N_C = \frac{\lambda_a}{\lambda_c}·N
\)
Por otra parte, los exponenciales pueden ponerse en forma de un
desarrollo en serie
\( \displaystyle e^x = 1 + x + \frac{1}{2}·x^2 + \cdots \Rightarrow
e^{-\lambda t} = 1 + \lambda t + \frac{1}{2}\lambda^2 t^2 +
\cdots \)
por lo que sustituyendo :
\( \displaystyle\begin{array}{l}
N_c = C_o \left[1 - \frac{\lambda_c}{\lambda_c - \lambda_b}\left(1+
\lambda_bt + \frac{1}{2}\lambda_b^2t^2\right)+\right. \\
\\
+ \left. \frac{\lambda_b}{\lambda_c - \lambda_b}\left(1+ \lambda_ct
+ \frac{1}{2}\lambda_c^2t^2\right)\right] = \\
\\
= \frac{1}{2}·C_ot^2 \left[\frac{\lambda_b\lambda_c^2}{\lambda_c
- \lambda_b} - \frac{\lambda_c\lambda_b^2}{\lambda_c - \lambda_b}\right]
= \frac{1}{2}\lambda_b\lambda_c·C_0·t^2
\end{array} \)
como queríamos demostrar.