Problemas y ejercicios resueltos de Física Nuclear. Ejemplo número cinco

Respuesta del ejercicio de física nuclear - 5

Las velocidades netas de transformación de cada cuerpo vienen dadas por :

Integrando la primera ecuación, tenemos :

Sustituyendo este resultado en la segunda :

Si multiplicamos los dos miembros de esta ecuación por el factor integrante, el primero de ellos se convierte en una diferencial exacta :

e integrando resulta :

Llevando este resultado a la tercera ecuación y procediendo de modo análogo se tiene :

e integrando después de considerar el factor integrante para la nueva ecuación :

Para obtener las constantes de integración A, B y C, hacemos t = 0, con lo cual :

N_a = N = A ; N_b = N_c = 0 (ya que la sustancia A no se ha desintegrado)

De la segunda ecuación tenemos :

y de la tercera :

Recordando ahora que λ_a <<, λ_b, λ_c podemos simplificar y escribir :

Con todo ello las ecuaciones anteriores nos quedarán en la forma :

Al cabo de mucho tiempo ( t tendiendo a infinito) los términos con

se anulan mientras que el primero varía muy poco. De ese modo, tendremos :

Por otra parte, los exponenciales pueden ponerse en forma de un desarrollo en serie

por lo que sustituyendo :

como queríamos demostrar.