PROBLEMAS RESUELTOS
DE FISICA
ejercicios resueltos de física nuclear y atómica

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Problemas resueltos de Física Nuclear

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FÍSICA NUCLEAR

Respuesta del ejercicio - 5
Las velocidades netas de transformación de cada cuerpo vienen dadas por :
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{dN_a}{dt}= -\lambda_a·N_a \; ; \; \frac{dN_b}{dt}= \lambda_a·N_a -\lambda_b·N_b
    \\
    \\
    \frac{dN_c}{dt}= \lambda_b·N_b -\lambda_c·N_c \end{array}\)
Integrando la primera ecuación, tenemos :

    \( N_a = A·e^{-\lambda_at} \)
Sustituyendo este resultado en la segunda :

    \( \displaystyle \frac{dN_b}{dt} + \lambda_b·N_b = \lambda_a·A·e^{-\lambda_ot} \)
Si multiplicamos los dos miembros de esta ecuación por el factor integrante, el primero de ellos se convierte en una diferencial exacta :
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \left(\frac{dN_b}{dt} + \lambda_b·N_b\right)e^{-\lambda_bt} = \lambda_a·A·e^{-\lambda_ot} \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow d\left(N_b·e^{\lambda_bt}\right) = \lambda_a·A·e^{(\lambda_b - \lambda_a)t}·dt \end{array} \)
e integrando resulta :
    \( \displaystyle N_b = B·e^{-\lambda_bt} + \frac{\lambda_a·A}{\lambda_b - \lambda_a}e^{-\lambda_at} \)
Llevando este resultado a la tercera ecuación y procediendo de modo análogo se tiene :
    \( \displaystyle \frac{dN_c}{dt} + \lambda_c·N_c = \lambda_b·B·e^{-\lambda_bt} +\frac{\lambda_a·\lambda_b·A}{\lambda_b -\lambda_a}·e^{\lambda_at} \)
e integrando después de considerar el factor integrante para la nueva ecuación :
    \( \displaystyle N_c - Ce^{-\lambda_ct} + \frac{\lambda_b·B}{\lambda_c - \lambda_b}e^{-\lambda_ct} + \frac{\lambda_a·\lambda_b·A}{(\lambda_b - \lambda_c)(\lambda_c - \lambda_a)}e^{-\lambda_at} \)
Para obtener las constantes de integración A, B y C, hacemos t = 0, con lo cual :
Na = N = A ; Nb = Nc = 0 (ya que la sustancia A no se ha desintegrado)
De la segunda ecuación tenemos :
    \( \displaystyle en \; t = 0 \Rightarrow N_b = 0 = B + \frac{\lambda_a·N}{\lambda_b - \lambda_a} \Rightarrow B = - \frac{\lambda_a}{\lambda_b - \lambda_a} \)
y de la tercera :
    \( \displaystyle N_c = 0 ; C = \frac{\lambda_a\lambda_b·N}{(\lambda_c - \lambda_b)(\lambda_b - \lambda_a)} - \frac{\lambda_a\lambda_b·N}{(\lambda_b - \lambda_a)(\lambda_c - \lambda_a)} \)
Recordando ahora que \(\lambda_a << \lambda_b , \lambda_c\) podemos simplificar y escribir :
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{\lambda_a}{\lambda_b - \lambda_a}= \frac{(\lambda_a/\lambda_b)}{1- (\lambda_a/\lambda_b)} = \frac{\lambda_a}{\lambda_b}
    \\
    \\
    \frac{\lambda_a}{(\lambda_c - \lambda_a)} = \frac{\lambda_a}{\lambda_c}\; ; \;\lambda_c - \lambda_a = \lambda_c \end{array}\)
Con todo ello las ecuaciones anteriores nos quedarán en la forma :
    \( \displaystyle N_a = N·e^{-\lambda_a t}\; ; \; N_b = \frac{\lambda_a}{\lambda_b}·N\left[e^{e^{-\lambda_at - e^{-\lambda_b t}}}\right] \)
    \( \displaystyle N_c = \frac{\lambda_a}{\lambda_c}·N\left[e^{-\lambda_a t } - \frac{\lambda_c}{\lambda_c - \lambda_b}e^{-\lambda_bt} + - \frac{\lambda_b}{\lambda_c - \lambda_b}e^{-\lambda_ct}\right] \)
Al cabo de mucho tiempo ( t tendiendo a infinito) los términos con \(e^{-\lambda_bt}\; y \;e^{-\lambda_ct} \) se anulan mientras que el primero varía muy poco. De ese modo, tendremos :
    \( \displaystyle C_o = \lim N_C = \frac{\lambda_a}{\lambda_c}·N \)
Por otra parte, los exponenciales pueden ponerse en forma de un desarrollo en serie
    \( \displaystyle e^x = 1 + x + \frac{1}{2}·x^2 + \cdots \Rightarrow e^{-\lambda t} = 1 + \lambda t + \frac{1}{2}\lambda^2 t^2 + \cdots \)
por lo que sustituyendo :
    \( \displaystyle\begin{array}{l}
    N_c = C_o \left[1 - \frac{\lambda_c}{\lambda_c - \lambda_b}\left(1+ \lambda_bt + \frac{1}{2}\lambda_b^2t^2\right)+\right. \\
     \\
    + \left. \frac{\lambda_b}{\lambda_c - \lambda_b}\left(1+ \lambda_ct + \frac{1}{2}\lambda_c^2t^2\right)\right] = \\
     \\
    = \frac{1}{2}·C_ot^2 \left[\frac{\lambda_b\lambda_c^2}{\lambda_c - \lambda_b} - \frac{\lambda_c\lambda_b^2}{\lambda_c - \lambda_b}\right] = \frac{1}{2}\lambda_b\lambda_c·C_0·t^2
    \end{array} \)
como queríamos demostrar.
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tema escrito por: José Antonio Hervás