Sean
las
constantes de desintegración de tres substancias A, B y C de una cierta
serie radiactiva. El periodo de A es muy grande comparado con los de B
y C. Demostrar que al cabo de un cierto tiempo t, tras la separación de
B y siendo este tiempo pequeño en comparación con los periodos de B y
C, la cantidad C formada a partir de A viene dada por la expresión :
donde C0 es la cantidad de equilibrio final de C.
Integrando la primera ecuación, tenemos :
Sustituyendo este resultado en la segunda :
Si multiplicamos los dos miembros de esta ecuación por el factor integrante, el primero de ellos se convierte en una diferencial exacta :
e integrando resulta :
Llevando este resultado a la tercera ecuación y procediendo de modo análogo se tiene :
e integrando después de considerar el factor integrante para la nueva ecuación :
Para obtener las constantes de integración A, B y C, hacemos t = 0, con lo cual :
y de la tercera :
Recordando ahora que
podemos simplificar y escribir :
Con todo ello las ecuaciones anteriores nos quedarán en la forma :
Al cabo de mucho tiempo ( t tendiendo a infinito) los términos con
se
anulan mientras que el primero varía muy poco. De ese modo, tendremos
:
Por otra parte, los exponenciales pueden ponerse en forma de un desarrollo en serie
por lo que sustituyendo :
como queríamos demostrar.
las
constantes de desintegración de tres substancias A, B y C de una cierta
serie radiactiva. El periodo de A es muy grande comparado con los de B
y C. Demostrar que al cabo de un cierto tiempo t, tras la separación de
B y siendo este tiempo pequeño en comparación con los periodos de B y
C, la cantidad C formada a partir de A viene dada por la expresión :donde C0 es la cantidad de equilibrio final de C.
RespuestaLas velocidades netas de transformación de cada cuerpo vienen dadas por :
Integrando la primera ecuación, tenemos :
Sustituyendo este resultado en la segunda :
Si multiplicamos los dos miembros de esta ecuación por el factor integrante, el primero de ellos se convierte en una diferencial exacta :
e integrando resulta :
Llevando este resultado a la tercera ecuación y procediendo de modo análogo se tiene :
e integrando después de considerar el factor integrante para la nueva ecuación :
Para obtener las constantes de integración A, B y C, hacemos t = 0, con lo cual :
Na = N = A ; Nb = Nc = 0 (ya que la sustancia A no se ha desintegrado)De la segunda ecuación tenemos :
y de la tercera :
Recordando ahora que
podemos simplificar y escribir :Con todo ello las ecuaciones anteriores nos quedarán en la forma :
Al cabo de mucho tiempo ( t tendiendo a infinito) los términos con
se
anulan mientras que el primero varía muy poco. De ese modo, tendremos
:Por otra parte, los exponenciales pueden ponerse en forma de un desarrollo en serie
por lo que sustituyendo :
como queríamos demostrar.