Ejercicios de Física General
Dos movimientos uniformes según los ejes X e Y, tienen
las siguientes características:
Sobre el eje X .- Posición inicial –
3 m ; velocidad 4 m/s
Sobre el eje Y .- Posición inicial – 14 m ; velocidad
6 m/s
Calcular:
a) La expresión de la distancia que los separa
en función del tiempo.
b) Valor de t para que la distancia sea mínima.
Respuesta al ejercicio 14
El camino recorrido vendrá dado por la expresión:
Por otro lado, sabemos que la distancia de dos puntos en el plano
viene dada por:
\(d = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} \)
Las coordenadas del móvil sobre X e Y serán, respectivamente:
\( x_1 = 4t - 3 \; ; \; y_1 = 0 \; ; \; x_2 = 0 \; ; \; y_2
= 6t - 14 \)
Por lo que, sustituyendo en la ecuación anterior:
\(d = \sqrt{[(4t-3) - 0]^2 + [0 - (5t - 14)]^2} = \sqrt{(4t-3)^2
+ (5t - 14)^2} \)
Y la expresión obtenida nos da la distancia de separación
en función del tiempo.
La anterior expresión tendrá un mínimo cuando
su derivada sea nula:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
d' = \frac{8(4t-3) + 10(5t - 14)}{\sqrt{(4t-3)^2 + (5t - 14)^2}}
= 0 \\
\\
8(4t-3)+10(5t-14) = 0 \quad ; \quad t = 2
\end{array}\)
Comprobado este valor en la segunda derivada resulta d”
> 0.