Ejercicios de Física General
El movimiento de un cuerpo viene dado por las ecuaciones :
\( x = 3t^2 + 2t \quad ; \quad y = 2t^3 + 5 \quad ; \quad z
= 2t + 6 \)
Para t = 2 segundos, calcular la velocidad, la aceleración
y los cosenos de los ángulos que forma la velocidad con
los ejes cartesianos.
Respuesta al ejercicio 1
Sabemos que la velocidad es la derivada del espacio respecto al
tiempo; por lo tanto, calculamos sus componentes :
\( \displaystyle v_x = \frac{dx}{dt} = 6t + 2 \quad ; \quad
v_y = \frac{dy}{dt} = 6t^2 \quad ; \quad v_z = \frac{dz}{dt}
= 2 \)
Componiendo los tres valores obtenemos la velocidad, v, en función
del tiempo :
\( v = \sqrt{\left(v_x\right)^2 + \left(v_y\right)^2 + \left(v_z\right)^2
} = \sqrt{\left(6t + 2\right)^2 + \left(6t^2\right)^2 + \left(2\right)^2
}\)
que para t = 2 segundos nos da v = 27,8 m/s.
Para saber la aceleración, derivamos de nuevo las expresiones
anteriores :
\(\displaystyle a_x = \frac{dv_x}{dt} = 6 \quad ; \quad a_y
= \frac{dv_y}{dt} = 12t \quad ; \quad a_z = \frac{dv_z}{dt}
= 0 \)
Componiendo y sustituyendo para t = 2 segundos, resulta :
\( v = \sqrt{\left(a_x\right)^2 + \left(a_y\right)^2 + \left(a_z\right)^2
} = \sqrt{\left(6\right)^2 + \left(12 \times 2\right)^2 + \left(0\right)^2
} = 24, 7 m/s^2\)
El valor de los cosenos de los ángulos que forma la velocidad
con los ejes cartesianos viene dado por los cocientes respectivos
de los módulos de las velocidades de cada componente respecto
al módulo de la velocidad total. Tenemos que ya hemos calculado
el valor del módulo de la composición de las tres
ecuaciones para la velocidad y hemos obtenido un valor de 27,8.
De ese modo:
\( \displaystyle \cos \alpha = \frac{|v_x|}{|v|} = \frac{14}{27,8}
= 0,503 \quad ; \quad \cos \beta = \frac{|v_y|}{|v|} = \frac{24}{27,8}
= 0,863 \)
\( \displaystyle \cos \gamma = \frac{|v_z|}{|v|} = \frac{2}{27,8}
= 0,071 \)