PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA
ejercicios resueltos de electromagnetismo

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Ejercicios resueltos de electromagnetismo

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Ejercicios de Electromagnetismo

Respuesta al ejercicio 50

La carga de un elemento de superficie en forma de corona circular será:
    \( dQ = \sigma·dS = \sigma·2\pi r·dr \)

Esta carga, al girar el disco, origina una corriente dada por:

    \( \displaystyle I = \frac{Q}{t} = \frac{\omega}{2\pi}\sigma·2\pi r·dr = \omega· \sigma·r·dr \)

Esta corona circular podemos equipararla a una espira por la que circula una corriente de intensidad como la obtenida y para la que se tiene, en puntos de su eje y según la figura

espira

un campo magnético dado por:

    \( \displaystyle B = \frac{\mu_o}{4\pi}\int_0^a \frac{I·dl·\sin \beta}{r^2}= \frac{\mu_o}{4\pi}·\frac{I·\sin \beta}{r^2}\int_0^a dl = \frac{\mu_o}{4\pi}·\frac{I·\sin \beta}{r^2}·2\pi a \)

Pero,considerando que:

    \( \displaystyle \sin \beta = \frac{a}{r}\quad ; \quad r = \sqrt{a^2 + b^2} \)

Tenemos:

    \( \displaystyle B = \frac{\mu_o}{2}·\frac{I·a^2}{r^3}= \frac{\mu_o}{2}·\frac{I·a^2}{(a^2 + b^2)^{3/2}} \)

En nuestro caso, la expesión para el campo magnético elemental de la espira considerada será:

    \( \displaystyle B = \frac{\mu_o}{2}·\frac{I·r^2}{(r^2 + z^2)^{3/2}}\omega· \sigma·r·dr = \frac{\omega·\sigma·\mu_o}{2}·\frac{r^3·dr}{(r^2 + z^2)^{3/2}} \)

y el campo magnético total vendrá dado por:

    \( \displaystyle\begin{array}{l}
    B = \int_0^R \frac{\omega \sigma \mu_o}{2} \frac{r^3 dr}{(r^2 + z^2)^{3/2}} = \frac{\omega \sigma \mu_o}{2}\int_0^R \frac{r(r^2+z^2)- r z^2}{(r^2 + z^2)^{3/2}}dr = \\
    \\
    = \frac{\omega·\sigma·\mu_o}{2}\left[\int_0^R \frac{r·dr}{(r^2 + z^2)^{1/2}} - \int_0^R\frac{z^2r·dr}{(r^2 + z^2)^{3/2}} \right]
    = \\
    \\
    = \frac{\omega·\sigma·\mu_o}{2}\left[\sqrt{r^2 + z^2}- \frac{z^2}{(r^2 + z^2)^{1/2}}\right]_0^R = \\
    \\
    = \frac{\omega \sigma \mu_o}{2}\left[\sqrt{R^2 + z^2}- \frac{z^2}{(R^2 + z^2)^{1/2}}\right] = \frac{\omega \sigma \mu_o}{2}\frac{R^2}{(R^2 + z^2)^{1/2}}
    \end{array} \)

Siendo R el radio del disco y Z la distancia del punto considerado al centro de éste.

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tema escrito por: José Antonio Hervás