PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA
ejercicios resueltos de electromagnetismo

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Ejercicios resueltos de electromagnetismo

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Ejercicios de Electromagnetismo

Respuesta al ejercicio 69

Como hemos visto en el problema anterior, el coeficiente de inducción mutua M, será igual al flujo \(\phi\) creado a través de la bobina de m vueltas, cuando la de n es recorrida por una corriente de intensidad I=1.
Para resolver el problema consideraremos la figura adjunta.
anillo toroidal

El campo de inducción, \(\vec{B}\), creado por la bobina de n vueltas en el interior del toroide, será, por simetría, solo función de la distancia r al eje vertical del mismo. Por consiguiente, nos bastará aplicar el teorema de Ampére a la circunferencia de radio r:

    \( \displaystyle \int_C \vec{B} d\vec{l} = \mu nI \Rightarrow B = \mu\frac{nI}{2\pi r} \quad \textrm{ con } d-a < r < d+a \)
El flujo de este campo a través de una espira de la segunda bobina será:
    \( \displaystyle \int_C \vec{B} d\vec{l} = \frac{\munI}{2\pi}\int \frac{1}{r}dS \)

Y el flujo total a través de las m espiras:

    \( \displaystyle \phi \phi= m·\phi_1 = \frac{\mu·m·n·I}{2\pi}\int_S \frac{1}{r}·dS
    \)

Podemos ver aquí que la integral que aparece en el segundo miembro puede transformarse de modo análogo al del problema anterior para el que teníamos:

    \( \begin{array}{l} dS = 2dx(a\sin \alpha) = 2a\sqrt{1 - \cos^2 \alpha}dx = \\ \\ = 2a\sqrt{1 - (x/a)^2}dx = 2\sqrt{a^2-x^2}dx \end{array}\)

Recordando además que r=R+x, en este caso tendremos:

    \( \displaystyle \phi = \frac{\mu}{2\pi}I_1\int_{-a}^a \frac{2\sqrt{a^2-x^2}}{R+x}dx= 2\pi \left(R - \sqrt{R^2 - a^2}\right) \)

Por lo que finalmente, nos quedará:

    \( \displaystyle M = \phi(I = 1) = \munm\left(R - \sqrt{R^2 - a^2}\right) \)

Suele ser frecuente que se cumpla \(R >>> a\) por lo que podemos hacer:

    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \left(R - \sqrt{R^2 - a^2}\right) = R \left[1 - \sqrt{1 - (a/R)^2}\right] \simeq
    \\
    \\
    R \left[1 - \left(1 - \frac{1}{2}\frac{a^2}{R^2}\right)\right] = \frac{a^2}{2·R} \end{array} \)

y de ahí

    \( \displaystyle M \simeq \munm\frac{a^2}{2R} \)
PROBLEMAS RESUELTOS DE ELECTROMAGNETISMO
 


tema escrito por: José Antonio Hervás