PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA
ejercicios resueltos de electromagnetismo

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Ejercicios resueltos de electromagnetismo

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Ejercicios de Electromagnetismo

Respuesta al ejercicio 68

Para resolver el problema lo haremos por el método del flujo. Para ello, consideramos la figura de la hoja siguiente y calcularemos el flujo \(\phi\) a través de \(C_2\) producido por el campo B creado por \(C_1\) cuando circula por este conductor la unidad de intensidad.

El campo creado por el conductor rectilíneo será perpendicular al círculo de XX y su valor puede obtenerse aplicando el teorema de Ampére:

    \( \displaystyle \int \vec{B} d\vec{l} = \muI_1 \Rightarrow B2\pi r = \muI_1 \Rightarrow B = \mu\frac{1}{2\pi r}I_1 \)

De ese modo, tendremos:

    \( \displaystyle \phi = \int_S \vec{B} d\vec{S} = \frac{\mu}{2\pi}I_1\int_S \frac{1}{r}dS \)

Pero de la figura resulta:

    \( \begin{array}{l} dS = 2dx(a\sin \alpha) = 2a\sqrt{1 - \cos^2 \alpha}dx = \\ \\ = 2a\sqrt{1 - (x/a)^2}dx = 2\sqrt{a^2-x^2}dx \end{array}\)

Como además tenemos: r=d+x, podremos escribir

    \( \displaystyle \phi = \frac{\mu}{2\pi}I_1\int_{-a}^a \frac{2\sqrt{a^2-x^2}}{d+x}dx \)

Para resolver esta integral hacemos d+x=t, por lo que tendremos:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} \int_{-a}^a \frac{2\sqrt{a^2-x^2}}{d+x}dx = \int_{d-a}^{d+a} \frac{2\sqrt{a^2-(t-d)^2}}{t}dt = \\ \\ = \int_{d-a}^{d+a} \frac{2\sqrt{-t^2 + 2dt -(d^2 - a^2)}}{t}dt \end{array} \)

La solución general de esta integral la hemos obtenido por las tablas y resulta:

    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    2\sqrt{-t^2 + 2d·t -(d^2 - a^2)} - 2d·\arcsin \left(\frac{2d-2t}{2a}\right) +
    \\
    \\
    + 2\sqrt{d^2 - a ^2}·\arcsin \left(\frac{2d·t - 2(d^2-a^2)}{2a·t}\right) \end{array} \)


Por lo que tomando límites entre d+a y d-a para la variable t, resulta:

    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \int_{-a}^a \frac{2\sqrt{a^2-x^2}}{d+x}dx = - 2d[\arcsin (-1) - \arcsin (1)] +
    \\
    \\
    + \sqrt{d^2 - a^2}[\arcsin (-1) - \arcsin (1)] = \pi \left(2d - 2\sqrt{d^2 - a^2} \right) \end{array}
    \)

Y finalmente tendremos:

    \( \displaystyle \phi = \mu I_1 \left[d - \sqrt{d^2 - a^2}\right] \Rightarrow M = \phi (I_1 = 1) = \mu \left[d - \sqrt{d^2 - a^2}\right] \)
PROBLEMAS RESUELTOS DE ELECTROMAGNETISMO
 


tema escrito por: José Antonio Hervás