Ejercicios de Electromagnetismo
Hallar el valor de la inducción magnética, B, en
el centro de una esfera de radio a, cargada con una densidad superficial
\( \sigma\), que gira con velocidad angular w alrededor de un
diámetro.
Respuesta al ejercicio 63
La carga de un elemento de superficie valdrá:
\(dQ = \sigma dS = \sigma· 2\pi a^2·\sin \theta
d\theta \)
Con lo que la corriente generada por él será:
\( \displaystyle I = \frac{Q}{T} = \frac{w}{2\pi}·\sigma·2\pi a^2· \sin \theta d\theta = \sigma w a^2·\sin \theta d\theta \)
Esta corriente creará en el centro de la esfera un
campo magnético diferencial dado por la misma expresión
que en el caso de una espira:
\( \displaystyle dB = \frac{\mu_o I·r^2}{2(x^2 + r^2)^{3/2}} \)
Sustituyendo el valor de I, y teniendo en cuenta las equivalencias
trigonométricas dadas por la figura, nos queda:
\( \displaystyle dB = \frac{\sigma·a^2 w \mu_o·a^2}{2·a^3}·\sin^3 \theta d\theta = \frac{\sigma·a w \mu_o}{2}·\sin^3 \theta d\theta \)
E integrando para \(\theta\) entre \(0 \;y \;\pi\), resulta:
\( \displaystyle \begin{array}{l}
B = \frac{\sigma·a w \mu_o}{2}\int_0^\pi\sin^3 \theta
d\theta =
\\
\\
= \frac{\sigma a w \mu_o}{2}\left[\int_0^\pi\sin \theta d\theta
- \int_0^\pi\cos^2 \theta·\sin \theta d\theta\right]
= \frac{2\sigma a w \mu_o}{3}
\end{array} \)